Solutions locale d'une equa diff partielle

par **kantor** » 07 Sep 2008, 03:22

Bonjour, j'ai besoin d'aide concernant l'EDP suivante:

Je veux réussir a trouver d'une part le comportement des solutions en (0,0) et d'autre part a savoir quand cette EDP possède des solutions dans C1(R^2).

ps: J'ai déja trouvé que u(x,y)=phi(sqrt(x^2-2y)) est une solution, mais pas partout.

Voila je suis un peu perdu. Si quelqu'un peut m'aider, merci énormément.

par **JJa** » 07 Sep 2008, 07:54

Bonjour,

en faisant le changement de variable : x=Sqrt(2X) pour x sur R+ et x=-Sqrt(X) pour x sur R-, avec respectivement soit U(X,0)=Phi(Sqrt(2X)), soit U(X,0)=Phi(-Sqrt(2X)), tu peux te ramener à la classique EDP de Laplace :
d²U(X,y)/dX²+d²U(X,y)/dy²=0
pour laquelle les méthodes de calcul, aussi bien analytiques que numériques, sont largement décrites dans la littérature.

par **kantor** » 07 Sep 2008, 08:04

Merci mais je ne crois pas que cela répond a ma question.

Mon objectif n'est pas de résoudre l'equation, car elle est déja résolue: u(x,y)=phi(sqrt(x^2-2y)) par la methode des caracteristiques, methode qui ne peux pas marcher au point (0,0) qui est justement un point caracteristique. Mon objectif est de trouver le "comportement" des solutions au voisinage de ce point... :mur:

En fait en parametrisant ma courbe initiale gamma psi(s)=(s,0) et A=(1,x) ma matrice de jacobi (Dpsi,psi(A)) a pour déterminant s.
D'apres le théorème les solutions sont unique et C1 si s différent de 0.
Mais en (0,0) on a s=0 )

par **kantor** » 07 Sep 2008, 19:31

up up up up up

par **Doraki** » 07 Sep 2008, 20:36

Qu'est-ce que tu peux dire si phi est une fonction de x² ?

par **kantor** » 07 Sep 2008, 20:57

Doraki a écrit:Qu'est-ce que tu peux dire si phi est une fonction de x² ?

Si phi(x)=F(x^2) .. je n'ai plus la condition x^2 > 2y, et en effet c'est beaucoup mieu. C'est surrement la réponse a ma deuxieme question.

Mais comment dire ce qui se passe en (0,0) ? Je dois étudier les dérivées de ma solution en ce point et regarder si je peux faire un "collage" par continuité ? c'est surtout ça qui me trouble...

par **kantor** » 09 Sep 2008, 03:22

up up up up up up

par **mathelot** » 09 Sep 2008, 10:37

bjr,

la famille de solutions

donne:

Pour obtenir un raccord dérivable, il est nécessaire que

.

par **Doraki** » 09 Sep 2008, 13:38

Mais ton u(x,0) n'est pas égal à phi(x)

par **mathelot** » 09 Sep 2008, 13:51

Bjr Doraki,

g vu le problème. Quant on remplace formellement
(x,y) par (x,0) dans la solution, on trouve

et non pas

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