Optimisation

[MatTiti]

Bonjour, je bloque sur un exercice, et après reflexions et recherches je beugue complètement.

Il faut optimiser le fonction f(x, y, z)= z - x

S/C ( y² = 5 - x²
( x + y + z = 0

Merci de bien vouloir me filer un coup de main, de m'aiguiller si je peut dire.

[Pythales]

Tu peux utiliser la méthode des multiplicateurs de Lagrange, en composant :

et écrire que
ce qui te donne un systéme d'équations

[MatTiti]

Ok merci pour cette réponse aussi rapide ...

Je vais essayer ca ce soir ..

Encore merci

[MatTiti]

D'après vos indications: (ou ce que j'en ai compris)

(L1 = lambda1) ...

U(x, y, z, L1, L2) = z -x +L1 (x² +y² -5) +L2( x +y +z)

CPO:

U'x = 2L1x -1 =0 (1)

U'y= 2L1y + L2 =0 (2)

U'z= L2 +1 =0 (3)

U'L1 = x² +y² -5 =0 (4)

U'L2= x +y +z =0 (5)


Dans (3) on a L2 = -1, ce qui implique dans (2): 2L1y = -1.
Soit 2L1x = 1 dans (1) et 2L1y = 1 dans (2), ce qui implique x = y.

... Jusque là ça me semble cohérent.

Mais dans les lignes (4) et (5) l'égalité x = y n'est plus du tout cohérente. :marteau:

Je pense avoir loupé un épisode là dedans. Si quelqu'un voit ou ça cloche ... !!

[MatTiti]

Personne n'a d'idée ?

[Pythales]

(1) est fausse

[MatTiti]

Arf ...merci , petite erreur qui fait perdre la tête.

donc je reprend:

Dans (3) on a L2 = -1, ce qui implique:
2L1y = 1 dans (2), et 2L1x = 2 dans (1) soit x = 2y.

L'égalité x = 2y implique dans (4): x² +y² -5 = 5y²-5 =0 soit y²=1 donc y=1 ou y= -1.

Soit: si y = 1, on a x = 2; L1 = .5; L2 = -1 et z = -3

si y = -1, on a x = -2; L1 = -.5; L2 = -1 et z = 3.



Je suis dans le juste ??

Peut-on définir les points candidats de cette facon là? :

( 2, 1, -3 ) pour L1= 1/2 et L2 = -1.
(-2, -1, 3 ) pour L1 = -1/2 et L2 = -1.

[Pythales]

C'est ce que j'ai trouvé.

[MatTiti]

Merci de ton aide Pythales

[switch_df]

La méthode est parfaitement correcte, mais comme je l'ai déjà mentionné dans un autre poste, il faut faire attention au hypothèses...

On doit avoir le jacobien des deux contraintes qui est non nul sur les points candidats que tu as cité, sinon ils ne le sont pas, car ils ne vérifient pas les hypothèses pour les multiplicateurs de Lagrange.

[MatTiti]

D'accord donc en fait je dois démontrer, ou plutôt préciser que :

f(x, y, z) est C+infinie car il s'agit d'un polynôme.

g(x, y) = x² +y² -5

h(x, y, z) = x +y +z

soit les Jacobiennes:

J(g)= (2x, 2y) de rang 1 sauf si x=y=0 or ce point n'est pas admissible.

J(h)= (1, 1, 1) de rang 1.

Les contraintes étant qualifiées, on peut utiliser le multiplicateur de Lagrange.


C'est bien cela qu'il faut démontrer ?

[switch_df]

Alors voila, si tu veu vraiment faire les choses de manière rigoureuse je le ferai comme ceci:

On veut trouver les extremas de f sur l'ensemble suivant:


g et h tel que tu les a défini plus haut.

E étant compact, et f continue, on sait que f admet un min et un max sur l'ensemble E.
Maintenant qu'on a l'existence, on peut utiliser la méthode de Lagrange. (Cette méthode ne garantit pas l'existence des extremas, mais si il y en a, elle donne les candidats ).

Les conditions nous donnent qu'il faut f,g et h C1 au voisinage de a. (a étant un point candidat), ce que nous avons également. (f n a pas besoin d'être C infinie)

Il nous reste le coup du rang, ou du Jacobien ce qui est équivalent. Posons a=(a1,a2,a3).

Comme

Dans le cas ou

Alors on peut utiliser la méthode pour trouver les extremas de f sur E.
Voila