Un problème d'algèbre

[Joe]

Soit
Soient
on calcule alors

Question:
On vous donne X et Y, retrouvez a et b

J'ignore le degré de difficulté de cette question, je la poste parce que je me la suis posée et que je ne l'ai pas encore résolue (alors qu'elle me paraissait simple).

[yos]

On peut reformuler ainsi :
Soit x, y deux irrationels. Résoudre y=ax+b dans Q² ((a,b) est l'inconnue).

S'il y a des solutions c'est bien ton problème; donc le mien est à peine plus général.

1) Avec y=pi et x= racine de 2, pas de solutions car le premier membre est transcendant et le second algébrique.

2) Avec y= racine cubique de 2 et x= racine de 2, pas de solutions non plus car le 1er mb est alg de degré 3 et le second est alg de degré 2.

3) S'il y a des solutions alors les corps Q(x) et Q(y) sont égaux. Mais la réciproque est fausse (je laisse chercher...)

[Joe]

A la manière dont tu le reformules, tu ne restitues pas le problème tel que je le concevais. Mais il est intéressant de remarquer que Q(x)=Q(y).

Je sais que a et b existent (et sont uniques), et je me demande comment on peut les retrouver.

x est un nombre irrationnel que je connais, quelqu'un (qui a choisi a et b rationnels) me donne le résultat de (ax+b) et je veux retrouver a et b sachant qu'ils sont rationnels.


Un exemple dans ce genre:
j'ai choisi un nombre entier n inférieur à 10^22, et j'indique:
sin(n) = 0,80320799288875561263670770234095 (à 10^-32 près)
retrouvez n

remarque:
u = asin(n) = 0,93266109360034255929338332246343 (à 10^-32 près)
on sait qu'il existe un entier m tel que u=n - m 2pi ou tel que u = pi - n + m 2pi
il s'agit alors de retrouver m et n (qui jouent le rôle des a et b de l'énoncé plus haut)

nota: j'ai choisi n arbitrairement grand pour éviter que l'on teste systématiquement avec un ordinateur tous les entiers en commençant par 1 jusqu'à ce qu'on retrouve n

[yos]

je dis "Quand il y a des solutions" mais il est clair qu'il ne peut pas y en avoir plus qu'une car ax+b=cx+d entraine a=c et b=d vue l'irrationalité de x.
Je n'ai pas tout capté avec ton u.
Je réfléchirai.

[Joe]

Pour u, il s'agit d'une erreur de frappe, j'aurais du écrire :
u=asin(sin(n))=0,93266...

Et je reformule la question en ce qui concerne n et u,
il faut résoudre l'une de ces deux équations (où m et n sont des entiers inconnus):
(ici: )
(ici: )

[Joe]

> S'il y a des solutions alors les corps Q(x) et Q(y) sont égaux. Mais la réciproque est fausse (je laisse chercher...)

Si x est solution d'une équation du second degré à coefficients dans Q,
tous les éléments de Q(x) peuvent s'écrire sous la forme ax+b avec a,b dans Q

Si x n'est pas solution d'une équation du second degré à coefficients dans Q,
on prend comme contre-exemple

qui ne peut pas avoir de solution (a,b) dans

[Joe]

Ceci m'a donné une idée pour résoudre le problème lorsque x est un irrationnel du second degré.

on peut écrire x sous la forme
et on peut écrire y sous la forme
où sont des nombres rationnels
on pose
et ensuite on trouve facilement tel que


Pour connaître et , on cherche d'abord une équation du second degré (à coefficients rationnels). Pour cela on utilise le développement en fraction continue de y. Celui-ci devient périodique à partir d'un certain rang car y est un irrationnel du second degré, et alors on peut retrouver une équation du second degré dont y est solution. Cette équation sera de la forme:

et alors:



nous avons alors:



Cette méthode me paraît tout de même compliquée, à cause du développement en fraction continue de y qui peut nécessiter beaucoup de temps avant de mettre en évidence une périodicité.

[yos]

Lorsque x est un irrationnel du second degré, y aussi donc
Q(x)=Q(y)=Q(racine de d) pour un entier d convenable.
x=u+v racine de d et y=u'+v' racine de d
donc y=(v'/v) x+u'-uv'/v