Continuité

[Satto]

Enoncée
f(x) = sin(x) / x si x>0 et f(0)= L

pour n c N on note In [nPi, (n+1)Pi]


Question 1 :

Quelle valeur faut il donner à L pour que f soit continue à droite en 0 ?

J'ai utiliser la notion de DL(0) et j'ai trouvé L=1

Question 2 :

Montrer que f est de classe C1 sur R+ et préciser la fonction dérivée de f

La j'ai un doute j'ai deux outils à ma dsposition qui son le DL1(0) et le taux d'acroissement fini mais j ai peur que sa ne montre que le fait que la fonction f soi dérivable en 0 . Je ne sais pas si cela suffit pour afirmer que sa dérivée et continue en 0.

Question 3 :

Soit n>1 Montrer que dans l'intervalle In l'équation x*cos(x)= sin(x) posséde une et une seule solution que l'on notera xn

J'ai utilisé le th de la bijection

Question 4 :
Déterminer un équivalent trés simple de xn lorsque n tend vers linfini.

Je ne vois vraiment pas comment partir ! peut etre sur un DL

j'ai encore deux question mais je nest pas encore réflechis sur ces derniéres je vous proposerai un message ou j'afficherai mes résultats et les deux autres question si vous pouviez me dire si je suis ou nous parti avec les bon outils et une petite piste pour Q4 merci à vous tous

[Cauchy3]

Enoncée
f(x) = sin(x) / x si x>0 et f(0)= L

pour n c N on note In [nPi, (n+1)Pi]


Question 1 :

Quelle valeur faut il donner à L pour que f soit continue à droite en 0 ?

J'ai utiliser la notion de DL(0) et j'ai trouvé L=1

C'est bon, sachant que c'est une limite usuelle, effectivement L=1.

Question 2 :

Montrer que f est de classe C1 sur R+ et préciser la fonction dérivée de f

La j'ai un doute j'ai deux outils à ma dsposition qui son le DL1(0) et le taux d'acroissement fini mais j ai peur que sa ne montre que le fait que la fonction f soi dérivable en 0 . Je ne sais pas si cela suffit pour afirmer que sa dérivée et continue en 0.

Le montre uniquement que la fonction est continue et est dérivable mais ne montre pas qu'elle est C1 (c'est à dire à dérivée continue).
Il est clair que la fonction est dérivable pour tout x différent de 0 donc on pourra alors calculer f'(x) pour x non nul, montrer que la limite de f'x) lorsque x tend vers 0 est égale à f'(0) (le coefficient de x dans votre DL).

Question 3 :

Soit n>1 Montrer que dans l'intervalle In l'équation x*cos(x)= sin(x) posséde une et une seule solution que l'on notera xn

J'ai utilisé le th de la bijection

C'est bien le théorème des valeurs intermédiaires.

Question 4 :
Déterminer un équivalent trés simple de xn lorsque n tend vers linfini.

Je ne vois vraiment pas comment partir ! peut etre sur un DL

L'étude des variations de la fonction auxiliaire que vous avez introduite permet tout simplement de trouver un équivalent, il y a une autre méthode plus simple c'est

[Satto]

Merci pour la confirmation et la précision pour la question 2

En ce qui concerne la question 4 je nest pas vus votre précision mais recherche mon amené à

soit g la fonction de la question 3 g(nPI)1

Je trouve f'=(1/x^2) * (x cos(x) - sin(x) ) donc le signe de f' ne dépend que de x cos x donc f strictement croissante de 0 à PI/2 et strictement décroissante de Pi/2 à Pi Pour n apartenant à I(2n-1) je trouve les meme variation que pour I0 et pour le derniere intervale je trouve l'inverse. En ecrivant je m'aperçois que xn équivaut peut être à nPI/2 mais je ne vois pas comment le démontrer merci encore