Opérateurs hermitiques

[julien_4230]

Bonjour à tous.

Voici un problème que je n'arrive pas à bien résoudre. Merci de m'aider là où j'en ai besoin !

Soit A un opérateur pas forcément hermitique.

1) Montrer que A+A et AA+ sont des opérateurs hermitiques (c'est fait)

2) D'après le théorème spectral il existe pour chacun d'eux une base de vecteurs propres. Montrer que leurs valeurs propres sont réelles (c'est fait) et positives (je n'y arrive pas !!!!).
On pourra considérer (x|A+Ax) où x est un vecteur propre de A+A.

Soit un espace de Hilbert de dimension infini discret. On note {ei,i entier naturel} une base orthonormée de cet espace. On définit l'opérateur T de translation par :
quelque soit i, Tei=ei+1
On cherche à calculer l'opérateur T+

3) Montrer que (ei|T+e0) = 0pour tout i. En déduire T+e0.

On a :
(ei|T+e0) = (ei+1|e0) = 0
Donc T+e0 = e0

4) Calculer (ei|T+e1) = 0 pour tout i. En déduire T+e1.

Si (ei|T+e1) = 0, alors (ei|T+e0) = (ei|T+e1) = 0.
Donc T+e0=T+e1=e0.

5) En déduire l'action de T+ sur la base {ei}.

On généralise alors : pour tout i, T+ei=e0.

6) Calculer les opérateurs T+T et TT+, et montrer que leurs valeurs propres obeïssent au résultat de la question 2.

De l'énoncé, on tire que :
T+Tei=T+ei+1=e0
Donc : T+Te0=e0

De 5), on tire que :
TT+ei=Te0=e1
Donc : TT+e1=e1

On constate que les valeurs propres de T+T et TT+ sont positives.


Voilà. Ce que je ne suis pas sûr est la question 4). Tout le reste en découle. En fait, si on compare la question 3) et 4), les premiers termes sont différents « montrer que » et « calculer », cela voudrait donc dire, en quelques sortes, qu’on pose (ei|T+e1) = 0, et qu’on doit calculer T+e1
Mais je vous avoue que si ce n’est pas le cas, la question est terriblement mal posée.
Merci de regarder !

A bientôt.