Suite periodique

[_tégation]

bonjour
j'ai un exercice dans lequel il faut montrer qu'une suite est periodique or je n'ai rien dans mon cour qui me l'explique.
pourriez vous m'expliquez la methode?
A=5 B=-0,2 Uo= 0,1 U(n+1)=A(1,5+B*Un)
merci!

[uztop]

Bonjour,

une suite est périodique si au bout d'un certain temps, elle reprend une même série de valeurs qui se répètent indéfiniment.
Par exemple, la suite
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ...
est périodique.
Bon ici, que vaut U(n+2) en fonction de Un ?

[_tégation]

euh ^^ Un+2 bahh c'est Un+2 :hein:
je comprends pas ...

[uztop]

U(n+1)=A(1,5+B*Un) = 5*(1.5-0.2Un)
donc U(n+2)=5*(1.5-0.2Un+1)
Maintenant, tu peux remplacer Un+1 par sa valeur en fonction de Un

[_tégation]

bah jai trouvé Un+2= 6+0,2Un

[uztop]

tu peux détailler ton calcul stp ?

[_tégation]

oui
Un+1=5(1,5-0,2Un)
Un+2= 5(1,5-0,2Un+1)
= 5(1,5-0,2(5(1,5-0,2Un)
=5(1,5-0,2(7,5-1Un)
=7,5-0,2(7,5-Un)
= 6+0,2un

[uztop]

le passage de 5(1,5-0,2(7,5-1Un) à 7,5-0,2(7,5-Un) est faux.
Ceci dit, tu peux simplifier dès le début:
Un+1 = 5*(1.5-0.2Un)
= 7.5 - Un

Donc Un+2 = 7.5-Un+1 = ...

[_tégation]

mince
Un+2=Un

[_tégation]

ok c'est periodique
pour chaque question de ce genre, il faudra faire la meme chose ?

[uztop]

oui, tu as montré que quelque soit n, Un+2 = Un
Fait attention à bien dire quel que soit n pour éviter les cas tordus du genre:
1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 ...
La suite est donc périodique de période 2

[_tégation]

daccord merci