Racine d'un polynome

[neuneu]

Bonsoir , je suis bloqué sur cet exercice.Pourriez vous m'aider s'il vous plait.
Soit
Montrer que admet une unique racine positive .
Montrer que .
En déduire le sens de variation de () et montrer qu'elle converge.

Je ne vois pas comment commencer
Merci

[leon1789]

Cet exercice a été abordé il n'y a pas longtemps, mais je ne le trouve plus. Si quelqu'un peut le trouver... :id:

[mathelot]

Bjr,


tu peux par exemple:

- calculer et
calculer et son signe sur [0,1]
calculer

ou bien

marcher pieds nus sous la pluie :zen:

[neuneu]

J'ai et

et sur [0,1]c'est positif car on va faire une somme de nombre positif

[neuneu]

Donc est croissante de [0,1] sur [-1,n-1]
donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires , il existe un appartenant à ]0,1[ tel que .
Mais là on ne travaille que sur [0,1], comment fait on pour travailler sur R et donc montrer que ce est unique ?
Merci

[mathelot]

comment fait on pour travailler sur R et donc montrer que ce est unique ?

on travaille sur
donc il y a une unique racine positive qui appartient à ]0,1[.

on peut essayer une relation entre et

[neuneu]

Comment savez vous qu'on travaille sur R+ s'il vous plait?
merci

[mathelot]

Montrer que admet une unique racine positive

:doh: :doh:

[neuneu]

Oui pardon je ne voyais pas !
donc en fait il faut que je montre que sur [1,+inf[ il n'y a pas de racine ?

[leon1789]

donc en fait il faut que je montre que sur [1,+inf[ il n'y a pas de racine ?

oui, mais sur ]1,+inf[ (because x-1 ...)
Et c'est assez simple, non ?

[mathelot]

Comment savez vous qu'on travaille sur R+ s'il vous plait?
merci

avec cette relation, c presque fini. remplacer x par

[neuneu]

Bonjour veuillez m'excuser de ne pas être revenu avant.
Merci pour votre aide mais je dois être à côté de tout car je ne comprends pas grand chose...
Pourquoi est ce que c'est facile de montrer que sur ]1;+inf[ il n'y a pas de racines s'il vous plait?
Merci



Merci de votre et désolé encore de ne pas avoir répondu avant

[nuage]

[...]
Pourquoi est ce que c'est facile de montrer que sur ]1;+inf[ il n'y a pas de racines s'il vous plait?
[...]

Parce que si alors et donc pour entier strictement positif.

[digardel]

Pas la peine de calculer de dérivés là.toutes les fonctions qui internviennent dans ta somme sont des puissances donc croissantes sur r +
La fonction est croissante sur IR +
Elle est de plus continue donc elle réalise une bijection de R+ sur son image avec f(o) = -1 et f (1) = n -1 c est pas tres dur de conclure

[digardel]

aprés tu as pn(an)=0 et Pn(an+1) négatif et de plus Pn est bijective croissante ,pense à la fonction réciproque et l exo est fini

[neuneu]

Bonjour merci de m'aider!
Alors merci nuage et digardel j'ai compris pourquoi sur ]1;+inf[ il n'y a pas de racine.C'était assez évident mais je n'avais pas vu , désolé.
Mais digardel pourquoi est négatif s'il te plait.C'est quoi ?
Parce que si j'ai alors forcément < puisque est croissante et

Merci

[nuage]

Question surprenante : est, par définition, la racine réelle de .
On a donc :

or
donc ...

[neuneu]

Merci nuage !! je comprends beaucoup mieux le problème maintenant. Je n'arrivais pas à comprendre entre leset les mais maintenant j'ai compris tous les messages précédents!
Je comprends vos différentes réactions face à mon incompréhension!

Donc j'ai bien maintenant que 0 car 0 n'est racine d'aucun quelque soit n.
On a donc une suite décroissante et minorée donc elle converge.

[leon1789]

0 car 0 n'est racine d'aucun quelque soit n.
On a donc une suite décroissante et minorée donc elle converge.

Pour moi, c'est ok, bien que je pense qu'il y a un peu plus simple pour démontrer que la suite est décroissante.

Au fait, peux-tu dire vers quoi tend la suite ?

[neuneu]

j'aurais envie de dire qu'elle tend vers 0 mais je ne sais pas comment le démontrer