Dm maths arithmétique

[toine]

Bonjour, voila, il s'agit de démontrer un théorème, qui est le suivant:
"la décomposition d'un entier naturel supérieur ou égal à 2 en produit de facteurs premiers est unique."

Les question intermédiaires pour nous aider sont:

1- On admet qu'il existe un entier naturel admettant deux décompositions distinctes:
n= p1p2...pr = q1q2...qs
où p1,p2.. et q1,q2.. sont des nombres premiers tesl que:

p1
Démontrer que si un même nombre premier p fiqure dans les deux décompositions, alors n/p admet deux décompositions distinctes. En déduire qu'aucun nombre premier ne figure dans les deux décompositions.

2- a) Dire pourquoi (p1)°2
b) En déduire que p1q1< n

3- a) a= n-p1q1 , démontrer qua a est divisible par p1 et q1.

b) Démontrer que 1
c) Démontrer que q1 divise n/p1 . Conclure.


Voila, j'espère que cet exercice vous inspirera! Merci d'avance!

[fonfon]

Salut, je te donne la decomposition que moi j'avais apprise après c'est à toi de l'appliquer ds ce qu'on te demande

th:Tout entier n>1 se decompose de façon unique (à l'ordre pres des termes) sous la forme:
n=p1^(a1)...pn^(an) ,les pi distincts ds P,les ai ds N*(pi=p indice i idem ai)

dem:

1)existence de la decomposition:
On procede par recurrence sur n

-n=2 c'est fini car 2 ds P (P:ens des nb premiers)
-supposons pour tt 1Est-ce vrai pour n+1?
on sait que tt nb entier >1 admet au moins un diviseur ds P,donc il existe p ds P tel que p divise (n+1)
soit n+1=pk avec 1
si k=1 alors n+1=p et c'est fini
si1
k=p1^(a1)...pr^(ar) (pi ds P,ai ds N*)

et alors n+1=pp^(a1)...pr^(ar) et c'est fini.

2)unicite de la decomposition:

Supposons n=p1^(a1)..pr^(ar)=q1^(b1)...qr^(br)

avec les ai et bj ds N*,pour tt i#i' pi#pi', pour tt j#j' qj#qj', pi et qj ds R
(1)=>p1 divise (q1^(b1)...qr^(br)).

(de plus p ds P donc on sait que si p divise ab alors p divise a et p divise b)

donc il existe j ds [1,s](entiers) tq p1 divise qj

or qj ds P dc p1=1 ou qj. Comme p1 ds P,on a pi#1 et donc pi=qj.


on peut supposer que p1=q1.

Supposons a1#b1,disons par ex a1>b1
Alors (1)<=> p1^(a1-b1)p2^(a2)...pr^(ar)=q2^(b2)...qs^(bs) (a1-b1>0)

=> p1 divise (q2^(b2)....qs^(bs))
=> il existe l ds [2,s](entiers) tq p1=p2
impossible car p1=q1#ql
de même on ne peut pas avoir a1
Alors (1)<=> p2^(a2)...pr^(ar)=q2^(b2)..qs^(bs)

on recommence le procédé...
supposons que r>s.Apres s etapes ,(a1=b1....as=bs,p1=q1...ps=qs)
(1)<=> ps+1^(as+1)...pr^(ar)=1 or ps+1^(as+1)...pr^(ar)>1 impossible
(car pour tt i pi ds P)
de même s>r est impossible.

Ainsi r=s.
CQFD

A regarder à tête reposer

A+

[toine]

ok merci ! jvais tenter de m'en servir!