Theoreme d'Ostrogradsky

[Babe]

Bonjour,

j'ai une petite question
à partir du théorème de flux-divergence (Ostrogradsky) appliqué à un champ electrique et de l'equation de Maxwell (div E=...), on retrouve aisément le theoreme de Gauss
j'aimerais savoir s'il est possible de faire pareil pour le theoreme de flux-divergence appliqué à la gravitation ?
la divergence de G est elle calculable ?

merci

[Jacques Lavau]

Bonjour,
à partir du théorème de flux-divergence (Ostrogradsky) appliqué à un champ electrique et de l'equation de Maxwell (div E=...), on retrouve aisément le theoreme de Gauss
j'aimerais savoir s'il est possible de faire pareil pour le theoreme de flux-divergence appliqué à la gravitation ?
la divergence de G est elle calculable ?

Et quels obstacles y envisages-tu ?

[Babe]

je n'y vois d'obstacle mais je ne vois pas comment la calculer :marteau:
a priori je devrais trouver div(G)=-4(pi)G(rho)
un indice ?

[Benjamin]

Il existe bien un théorème de Gauss pour la gravitation. L'analogue de , c'est .

Le théorème de Gauss au final s'écrit

[Babe]

oui je suis d'accord mais je cherche justement comment trouver ca
pour le champ E, on a

comment trouver le ?
?

[Benjamin]

En fait, je le démontre par la définition de l'angle solide. L'angle solide défini par le contour d'une surface orienté S est donné par : . En fait, l'angle solide est le flux du champ vectoriel à travers S.

Partant de là, tu transformes la loi de gravitation de Newton avec un angle solide et tu appliques au cas d'une surface fermé.

[Babe]

peux tu me montrer avec ta méthode stp ?

[Benjamin]

Je calcule le flux du champ créé par une masse ponctuel à travers une surface S.

Je commence par le flux élémentaire. Comme , j'ai soit . Par définition de l'angle solide, tu obtiens .

Après, tu peux montrer pour une surface fermée que si ta masse ponctuelle est à l'intérieur de ta surface fermé, et que si ta masse est à l'extérieur de la surface fermée, .

Ensuite, principe de superposition pour appliquer à un ensemble de charge.

[Babe]

Je calcule le flux du champ créé par une masse ponctuel à travers une surface S.

Je commence par le flux élémentaire. Comme , j'ai soit . Par définition de l'angle solide, tu obtiens .

Après, tu peux montrer pour une surface fermée que si ta masse ponctuelle est à l'intérieur de ta surface fermé, et que si ta masse est à l'extérieur de la surface fermée, .

Ensuite, principe de superposition pour appliquer à un ensemble de charge.

oui justement c'est au moment du "tu peux montrer " que je galère lol

[Benjamin]

Ok, je te fais le cas où la masse est à l'intérieur de la surface fermée.

Le flux élémentaire associé à un cône d'ouverture infinitésimale est d'après ce que j'ai dit au-dessus .

. Or, S étant fermé, . Donc .

Pour le cas où m est extérieur à S, le cône intercepte 2 fois la surface, tu as donc un dS1 et un dS2, de sens contraire, ce qui fait que dOmega1 s'annule avec dOmega2, et quand tu intègres sur tout S 0, tu obtiens encore 0.

[Jacques Lavau]

La question me semble futile dès le début.
Dès 1782 (je peux me tromper d'un an), Pierre Siméon Laplace avait déjà publié son équation "de Laplace", et en coordonnées sphériques, en tête de chapitre pour traiter de gravitation en astronomie. Le flux conservatif dans le vide est donc acquis depuis plus de deux siècles, 226 ans environ.
La source du potentiel de gravitation ce sont les masses.

Le théorème sert donc d'abord à obtenir les champs en fonction des masses. C'est la problématique de l'astronome : tabuler les mouvements des satellites.
Le problème inverse est celui du prospecteur géophysicien : cartographier les anomalies gravitationnelles, et de là des gisements présumés, à partir des anomalies du champ de gravitation. Il doit donc commencer par obtenir une cartographie fine et en 3D du champ dans la zone repérée comme prometteuse.

Ce théorème d'Ostrogradsky n'est qu'un cas particulier de la formule de Stokes généralisée :
Soit O une variété à bords. d.O son bord.
Oméga une forme différentielle, d.Oméga sa différentielle (extérieure).
Somme de Oméga sur d.O = Somme de d.Oméga sur O.


Un théorème en neuf symboles. Difficile de faire plus bref.