Informations sur les développements limités

[Skrilax]

Bonsoir,

J'ai reçu aujourd'hui de la part de mon professeur de maths un certain nombre de polycopiés concernant des rappels de cours de l'année dernière tout à fait simples. Il y a cependant une toute petite partie qui me gêne, car c'est une notion que je n'ai pas vu l'année dernière, en 1ere.

Voici ce qu'il y a marqué :

(on a considéré juste avant une fonction f définie sur I, et a un réel appartenant à I)

je cite :

"f est dérivable en a ssi avec " (1)

Avec, en dessous, la précision suivante :

" est appelé développement limité d'ordre 1 de f en a "

Voilà, quelqu'un pourrait-il, d'une part m'expliquer l'équivalence (1) et d'autre part m'expliquer rapidement ce qu'est un développement limité et a quoi cela peut-il me servir ?

Je vous en serai très reconnaissant.
Merci.

[leon1789]

je cite :

"f est dérivable en a ssi avec " (1)

Déjà, cette équivalence ne veut rien dire puisque f'(a) existe (à droite) si et seulement si f est dérivable en a.
Autrement dit, écrire seulement avec comme on veut, c'est déjà admettre que f est dérivable en a...

[lapras]

salut,
en fait c'est juste une appriximation affine de f,
f(x+h) = h*f'(x)+ f(x) +h*e(h)
avec lim e(x) = 0
h->0
ce qui siginfie que
f'(x) = lim (f(x+h)-f(x))/h ce qui est la définition de la dérivée
h->0

[leon1789]

a quoi cela peut-il me servir ?

Un D.L. en a sert à approximer une fonction localement au voisinage du point a par un polynôme + un reste., et là dans ton exemple, c'est une droite qui approxime f.

Le but est de remplacer une fonction compliquée par une expression plus simple.

Application : calcul de limite, majoration de différence, etc.

[satfever]

Pour ton égalité (1)
elle vient de la définition de la dérivé.
tu dois savoir donc, que,
soit f une fonction défini sur un intervalle donné, continue sur cette intervalle alors f est dérivable sur se meme intervalle (ouvert) tel que :
lim (x tend vers a) [f(x) - f(a)] / (x - a ) = f'(x)

après je doute réellement que tu es vue les D.L en première...
(si tu veux quand même en avoir une petite idée sa sert entre autres a trouver de manière plus rapide la limite de certaines fonction, entre autres!!)

[leon1789]

Pour ton égalité (1)
elle vient de la définition de la dérivé.

Oui, on part de f dérivable en a pour en déduire l'égalité.

Mais la réciproque n'a pas de sens : que signifie f'(a) si f n'est pas supposée dérivable en a ?!

[Skrilax]

salut,
en fait c'est juste une appriximation affine de f,
f(x+h) = h*f'(x)+ f(x) +h*e(x)
avec lim e(x) = 0
x->+inf
ce qui siginfie que
f'(x) = lim (f(x+h)-f(x))/h ce qui est la définition de la dérivée
x-> +inf

Ah oui bien vu

En revanche, pourquoi x->+inf ? c'est pas h--> 0 plutôt ?
Merci pour vos réponses

[leon1789]

En fait, la vraie proposition est

f est dérivable en a ssi il existe un réel D tel que avec (1)

Si tel est le cas, alors .

Ici, trop de raccourci tue l'énoncé.