Limites de suites TS

[Anonyme]

Pouvez vous m'aider? J'ai deux problèmes mais j'ai même pas fait de leçon sur ça avant, donc je suis complètement perdue Sad j'utiliserais =< et >= pour superieur ou égal, et inferieur ou égal.
Merci d'avance
Voici les exos:

Que se passe t-il si l'on somme tous les termes (c'est à dire une infinité de termes) d'une suite Un qui converge vers 0? Obtient on une quantité finie ou infinie?

EXERCICE 1.

Etude de la somme Sn= 1+ 1/1!+1/2!+1/3+...+1/N! n entier appartenant à N*.
Rappelons la notion de factorielle d'un entier naturel.Soit n apartenant à N.On apelle factorielle de n l'entier noté n! défini par: n!=1x2x3x...xn si n>1 et 0!=1.

On introduit la suite Wn définie par Wn=Sn+1/n!, n appartenant à N*.
1)Démontrer que pour tout n>=2, SnW(n+1)
2)Démontrer que les suites (Sn) et (Wn) sont adjacentes.
3)En déduire que les suites (Sn) et (Wn) admettent une limite commune que l'on notera l.
4)Démontrer que pour tout n>=2, Sn5)Démontrer que pour tout n appartenant à N*, n!Sn est entier.
6)Dans cette question , on suppose que l appartient à Q. Autrement dit qu'il existe des entiers p et q différents de 0 tels que l=p/q.
a)Démontrer qu'il existerait un entier a tel que
a/q!

(on utilisera le 4) appliqué à n=q)
b)Démontrer qu'alors a verifierait : ac)En déduire une contradiction et conclure.
Nous démontrerons prochainement que la suite (Sn) converge vers e.

EXERCICE 2.

Etude de la somme Tn= 1/racinede1 + 1/racinede2 + 1/racinede3+...+1/racine de n, n appartenant à N*.
1)Demontrer que racine de n=2)En déduire la limite de la suite (Tn)

MERCI D'AVANCE

[krou]

alors pour la question préliminaire,

bien que la formulation soit bizarre, (l'explication entre parenthèse est dans l'énoncé ou l'as-tu rajouté toi même?) une suite qui converge vers 0 aura une somme finie.

C'est important d'essayer de se représenter cela je pense imagine que tu somme des choses de plus en plus petites, tu pourras toujours trouver une valeur qui majore la somme de ta suite

Plus concretement un exemple :

Imagine que tu veuilles remplir un verre, tu commence par le remplir à moitié, puis tu remplis la moitié du reste, et tu fais cela a chaque fois, formellement ca te donne : 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +.... tu vois qu'en procedant comme cela le verre ne débordera jamais, formellement, la suite tend vers 1.

maintenant pour l'exo

1) démontrer S(n) < S(n+1) , calcules S(n+1) - S(n), remplace par leurs valeurs respectives et conclus, pareil pour W(n)

2) definition : 2 suites sont adjacentes ssi pour tout N, A(n) <= B(n), (A(n)) est croissante, (B(n)) décroissante et lim (A(n) - B(n) = 0 quand n -> +infini.

la suite c'est pour ainsi dire que du calcul ;)

cette démonstration est utilisée pour prouver que e n'est pas dans Q bonne chance

[Anonyme]

Ce qui est entre parenthèse est bien dans l'énoncé
Mais comment je fais pour calculer Sn+1-Sn?
Je veux dire, je me sers du signe sigma (somme) etc...?

Et ensuite, avez vous quelques autres petites indications pour les autres questions?

Merci d'avance.

[krou]

tu sais que Sn= 1+ 1/1!+1/2!+1/3+...+1/N!
donc S(n+1)= 1+ 1/1!+1/2!+1/3+...+1/N! + 1/(N+1)!

a partir de la, calculer S(n+1) - S(n) devrait pas être trop dur ;)

[Anonyme]

ah là oui... ok merci :-)

[Vondie]

Bonjour,
une suite qui converge vers 0 n'a pas forcément la somme de ses termes finie.
Un=1/n
la suite (Un) converge vers 0.
La somme de ses termes est infinie.
Il s'agit de la série harmonique qui diverge vers +°°