Sur les suites récurrentes

[wajih]

bonjour, je vous invite à vérifier avec moi s'il vous plaît les hytpothèses d'une proposition établie dans un cours sur les suites récurrentes. soit u(n) une suite tque f(u(n))=u(n+1) et f fonction continue sur I tque f(I) est inclus dans I. S'il existe un intervalle J inclus dans I contenant l; et un réel k appartenant à [0,1[ tque: qque soit x dans J, |f(x)-l|<=k|x-l|
alors pour u(0) appartenant à J, la suite converge vers l.
la question que je vous demande est comment établir que tous les éléments de la suite sont inclus dans l'intervalle J ?
merci d'avance

[busard_des_roseaux]

bjr,
par récurrence sur l'indice n.

[wajih]

bonjour, si on utilise un raisonnement par récurence: on suppose que u(n) appartient à l'intervalle J .
Comme u(n+1)=f(u(n)) alors on a |u(n+1)-l|<=k|u(n)-l|
mais je pense que ce n'est pas suffisant pour affirmer que u(n+1) appartient à l'intervalle J parce que rien ne garantit que u(n+1) est entre u(n) et l

[charif]

oui ......la récurence! mais à condition de montrer que l appartient à J ...

[wajih]

oui ......la récurence! mais à condition de montrer que l appartient à J ...

on sait que l appartient à J toutefois je ne vois pas encore comment montrer que les éléments de la suite sont ds J

[charif]

bj:

la valeur absolue de : u(n+1)-l est inferieuer strictement à la valeur absolue de u(n)-l ( k appartient à [0,1[ )....et cette valeur absolue( de u(n)-l ) est inferieur strictement à la longueur de l'intervalle J ( car u(n) et l apppartiennt à J) ...donc la valeur absolue de u(n+1) -l est aussi inférieur strictement à la longueur de J...donc u(n+1) appartient à J

[Doraki]

Tu peux construire un contre exemple si tu penses que l'énoncé est faux.
Le but est donc de faire sortir ta suite de J.
Une fois que tu es sorti de J tu n'as plus de condition sur le comportement de f donc tu peux t'arranger pour que ta suite sera stationnaire.
Sachant que J est un intervalle contenant l et u(0) et que u(1) est plus près de l que u(0), il faut donc que u(1) soit de l'autre coté de l, et que l'intervalle J ne soit surtout pas centré en l :

I = [-4;2]
f(x) = -x/2 pour -4 <= x <= 1
prolongé par n'importe quoi de continu sur [1;2] et tel que f(2)=2.
l=0 ; k=1/2 ; J=[-4;1]
Ca vérifie toutes les hypothèses, mais pour u(0)=-4, la suite est stationnaire à 2 et ne converge pas vers 0.

Sous des hypothèses plus fortes (ça t'empêche de changer de coté) ou J centré en l (ça t'empêche de sortir de J), tu peux déduire que la suite tend vers l.

[wajih]

merci bcp pr doraki il me manquait juste le contre exemple adéquat pr faire sortir la suite de l'intervalle J