Matrice et récurrence

[Yawgmoth]

Bonjour :happy2: ,

J'ai de petits soucis lorsque je dois calculer le déterminant d'une matrice d'ordre n par récurrence. Je suis obligé de le faire par récurrence même si il y avait un autre moyen.

Malheureusement, je ne sais pas comment écrire une matrice "infinie" avec Latex. Voici la matrice d'ordre 5. Vous le verrez, il y a un "carré" qui se répète sans arrêt. C'est comme cela jusqu'à l'ordre n.



Ce que je fais (c'est pas grand chose), j'initialise la récurrence en prenant le déterminant pour la matrice d'ordre 1 puis celle d'ordre 2. Ensuite mon hypothèse de récurrence est : . Je cherche à calculer celui d'ordre (n+1). Normalement, avec ça je suis censé trouver une expression du déterminant en fonction de l'ordre de la matrice (c'est-à-dire pas un déterminant "récurrent").

Je ne vois pas du tout comment je peux m'en sortir (et si ça se trouve, mon départ est mauvais).

Merci infiniment d'avance de votre aide :we: .

[Doraki]

Tu t'es pas trompé.
T'as utilisé ta relation de récurrence pour calculer les déterminants pour les premiers n ?

[Taupin sur Lyon]

( en notant An le déterminant... )
Je ne suis pas d'accord en ce qui concerne la relation liant An, An-1 et An-2...

Mais si j'ai bien compris, il te faut An en fonction de n, c'est ça ?

Que donnent A2 et A3 ?

[busard_des_roseaux]

bjr,


est constant

ensuite c téléscopique..

[Yawgmoth]

Là pour avoir le déterminant j'ai ça : A_n = n-1 .

J'abuse encore un peu en proposant une autre matrice :marteau: .



Là j'avoue que je suis perdu.
Je continue de chercher éégalement .

[busard_des_roseaux]

re,
ensuite faire la théorie de l'e.v des suites vérifiant:

[Yawgmoth]

Merci de ta réponse malheureusement je vais faire mon embêtant :mur: .

Je ne sais pas ce qu'est cette théorie de l'e.v. (je ne comprends pas les initiales donc je peux pas chercher sur internet ^^).

Je souhaitais également savoir si il y avait une méthode pour ce genre de calcul de déterminant (peut être est-ce la théorie de l'e.v., dans ce cas, oubliez pas question).

[busard_des_roseaux]

e.v=espace vectoriel

[Yawgmoth]

Désolé, je ne comprends pas ce que je dois faire avec .
C'est quoi a, b et c ? Pourquoi puis-je écrire cette égalité ? A quoi cela va-t-il me servir dans la recherche d'une expression du déterminant en fonction de n ?
:marteau: :mur:

[Yawgmoth]

Je m'excuse d'insister mais je n'arrive toujours pas à trouver :s .
Même si c'est avec un exemple plus simple que celui que j'ai proposé, je demande juste un éclaircissement de l'utilisation de la récurrence appliquée au calcul du déterminant d'une matrice du genre que celles que j'ai donné.

Là maintenant, j'ai essayé et je n'y arrive pas, alors si vous répondez, ne répondez pas en me sortant des formules toutes faites, ça ne me servirait pas à grand chose. Je veux comprendre comment bien aborder le problème et ensuite le continuer.

Merci d'avance de votre aide, elle me sera précieuse.

[Doraki]

Y'a deux étapes

Considère une matrice infinie A comme t'as donné (1,2,7,2,1 qui se répète sur la diagonale).
Fais comme si tu développais le calcul du déterminant sur la première colonne.
Ca te ramène le calcul du déterminant au calcul du déterminant de 3 nouvelles matrices infinies.
La première c'est la même que la matrice de départ.
Les deux autres sont un peu différentes.
Appelle-les B et C.

Recommence à développer un calcul de déterminant de B et C sur la première colonne.
(Si c'est possible, lorsque t'obtiens une ligne avec une seul entrée non nulle, tu peux poursuivre le calcul de déterminant).
Normalement tu devrais voir que toutes les matrices infinies que tu obtiens sont A, B, ou C.

Maintenant tu peux commencer à voir quelle sera la relation de récurrence sur ces déterminants.
Tu n'as plus qu'à définir des matrices An, Bn, et Cn de taille n, et réécrire les calculs que t'as faits plus haut sous forme de relation qui donnent |An| |Bn| et [Cn| en fonction des déterminants des matrices de taille n-1 n-2 et n-3 (j'crois).

Une fois que t'as obtenu une vraie relation de récurrence, il restera à l'étudier et ce sera la 2ème étape.

[Yawgmoth]

Jusqu'ici c'est ce que j'avais fait mais heureusement que t'as mis le doigt sur le fait que finalement il n'y avait que trois "types" de matrices car ça m'était passé au-dessus ^^.

Par contre, pour trouver l'expression du déterminant en fonction du nombre de lignes je suis toujours bloqué. Je me suis retrouvé avec une expression "récurrente" mais ne sachant pas trop quoi en tirer, j'ai continué à développer voir si quelque chose en sortirait. J'ai repéré qu'il y aurait un 7^n + ... Ce sont ces "..." qui me dérangent car je n'arrive pas à les cerner :briques: .

Enfin, grâce à toi j'y suis presque, merci beaucoup :) .

[Doraki]

En regardant le vecteur t'obtiens une relation linéaire
où M est une matrice de taille 6.

En calculant le polynome caractéristique de M, tu obtiens la relation de récurrence

Et en regardant la 1ere composante de X, la même pour An :


Puis à partir de là, si tu veux vraiment avoir l'expression de An en fonction de n, c'est plutôt moche :
il faut factoriser le polynome caractéristique et faire plein de calculs pénibles pour trouver les 6 nombres a1, a2, ... a6 tels que pour tout n (si je me suis pas gourré) :

où les sont les
et