Racines d'un polynôme

[acoustica]

Bonjour à tous! Voici un problème rigolo et corsé je trouve, pour se détendre avant la rentrée :ptdr: . J'ai hésité avant de le mettre en section Olympiades, mais à la réflexion, je trouve c'est plutôt l'esprit.

, on pose:
1) Montrer que admet au plus une racine réelle. Préciser selon la parité de .
2) , on note la racine réelle de Déterminer

[CENTER] :happy2:[/CENTER]

[miikou]

1°) par récurrence, on dérive pour passer du range k+1 au rang K- si n impaire alors il existe exactement 1 racine reelle.
2°) la limite est +infini

[acoustica]

1°) par récurrence, on dérive pour passer du range k+1 au rang K- si n impaire alors il existe exactement 1 racine reelle.
2°) la limite est +infini

Oui, l'idée du problème n'est finalement pas si corsée: c'est les calculs qui le sont plus. :briques:
La limite, c'est - et non pas .
Pour le coup du nombre de racines, c'est bon.

[_-Gaara-_]

lol acoustica pourras tu m'expliquer tout ça ? :hum: :doh:

[miikou]

oui pardon c'est bien - infini :)

[acoustica]

lol acoustica pourras tu m'expliquer tout ça ? :hum: :doh:

Salut garra!
En fait, c'est le "début" de l'exponentielle: notre récurrence se base sur le fait que en dérivant , on a .
Ce qui n'a rien d'évident à la calculatrice est que n'a pas de racines quand n est pair...

[_-Gaara-_]

Salut acoustica =)

on peut dériver dans une récurrence ?

et puis comment on trouve pour le truc des racines ?

argh >__< XD

[lapras]

Salut
remarquons que

par récurrence on prouve tres facilement que :
si n impair, a exactement racine, et est strictement croissant sur R
si n pair, a 0 racines et est strictement positif sur R.

EDIT : je suis grillé !!!!

[acoustica]

Salut
remarquons que

par récurrence on prouve tres facilement que :
si n impair, a exactement racine, et est strictement croissant sur R
si n pair, a 0 racines et est strictement positif sur R.

EDIT : je suis grillé !!!!

Mais non, tu n'est pas grillé: personne n'a posté les calculs: tu te lances? :happy2:

[Doraki]

Où ça des calculs ?
Si n est impair, P'n est strictement positif donc Pn est strictement croissant, de -l'infini à +l'infini et donc a une seule racine.
Si n est pair, P'n a une seule racine, qui correspond au minimum de Pn. Comme Pn > P'n, ce minimum est strictement positif donc Pn est strictement positif.

[acoustica]

Oui, on est tous d'accord, petite synthèse:

On a une distinction de cas suivant la parité de .
Déjà, lorsque est impair, c'est un polynôme du type x^3, x^5...ça tend vers + en et en - en -. Pour pair, c'est + en -. Le truc, c'est de prouver que son minimum est toujours positif.

(1) et
(2)

On montre que est décroissante sur et croissante sur
Grâce aux relations (1) et (2), on prouve que .
En effet,

Mais maintenant, la deuxième, et celle là, je la trouve vraiment dure. Et des calculs si possible, s'il vous plaît, pas simplement une explication de la démarche! :++:

[lapras]

Aucun calcul :
La dérivée de est égale à qui est par hypothese de récurrence strict négatif sur I = ]-inf; a_{2k-1}[ puis strict positif sur donc décroit strict. I puis croit strict. sur J.
or donc P_{2k+1} > 0 => P_{2k+1} strict croissante pour tout k

Maintenant si n impair, alors est par récurrence strictement décroissant puis strictement croissant, supposons qu'il ait une racine, alors il en a 2 par sa croissance puis décroissance ce qui signifie que est positif, négatif puis positif ce qui implique que est positif, négatif puis positif or impair et on a pruvé que pour tout impair,
absurde
donc a 0 racines
en a 1

EDIT : Encore grillé, je croyais qu'on me laissait faire le calculs!! :briques:

[acoustica]

Aucun calcul :
La dérivée de P_{2k+1}(x)' est égale à P_{2k-1} qui est par hypothese de récurrence strict négatif sur I = ]-inf; a_{2k-1}[ puis strict positif sur J=]a_{2k-1}; +inf[ donc P_{2k+1}'(x) décroit strict. I puis croit strict. sur J.
or P_{2k+1}'(a_{2k-1}) = P_{2k}(a_{2k-1}) = 0 + \frac{a_{2k-1}^{2k}}{(2k)!} > 0
donc P_{2k+1} > 0 => P_{2k+1} strict croissante pour tout k

Maintenant si n impair, alors P_{n+1} est par récurrence strictement décroissant puis strictement croissant, supposons qu'il ait une racine, alors il en a 2 par sa croissance puis décroissance ce qui signifie que P_{n+1}(x) est positif, négatif puis positif ce qui implique que P_{n+2}(x)' est positif, négatif puis positif or n+2 impair et on a pruvé que pour tout N impair, P_{N}(x)' > 0
absurde
donc P_{2k} a 0 racines
P_{2k+1} en a 1

EDIT : Encore grillé, je croyais qu'on me laissait faire le calculs!! :briques:

Désolé lapras, j'avais oublié...mais à deux là au moins, la question est éclaircie... :++:
Allez, il reste toujours la deuxième, et là, promis, je ne dit rien de rien. motus.

[aviateurpilot]

Désolé lapras, j'avais oublié...mais au moins, là, la question est éclaircie...
Allez, il reste toujours la deuxième, et là, promis, je ne dit rien de rien. motus.

et donc ==>
donc est decroissant ,donc admet une limite (fini ou bien )
mnt il suffit de montrer que le limite ne peut pas etre fini, si alors

avec
et qui tend aussi vers

donc (absurde)

[acoustica]

et donc ==>
donc est decroissant ,donc admet une limite (fini ou bien )
mnt il suffit de montrer que le limite ne peut pas etre fini, si alors

avec
et qui tend aussi vers

donc (absurde)

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