Equations du 3e degré Ts

[ptitemimidu18]

Bonsoir ,

On considère l'équation d'inconnue complexe (E) :

z^3 + 5z^2+11z+15= 0

1/ Montrer qu'il existe 3 réels tels que pour tout complexe z :

z^3+5z^2+11z+15 = (z+3) (az^2+bz+c)

donc j'ai développer l'expression de droite je trouve az^3+bz^2+cz+3az^2+3bz+3c soit az^3+z^2 ( 3a+b) +z(b+c)+3c

2/ déterminer a b,et c

et par identification avec le membre de gauche je trouve

a=1 , b=1 , c= 10

3/ en déduire les solutions dans C de l'équation E ...

Alors là faut-il calculer le discriminant car le discriminant c'est pas pour le 3e degré ???

merci :marteau:

[XENSECP]

Ba ca se ramène à la résolution complexe d'une équation du 2nd degré, ouais :)

[ptitemimidu18]

c'est à dire que je dois trouver le discriminant de z^2+bz+10c ???

oui mais c'est multiplier à (z+3) ???

merci

[XENSECP]

"Le produit de 2 facteurs est nul si l'un des 2 facteurs est nul"... Quand même ! en TS !

[ptitemimidu18]

oui , je le sais ce n'est pas par rapport à ça que je me posai la question c'est quand on demande les solutions dans C de l'équation (E) c'est les racines ?...

Donc je trouve 2 racines complexes :



z2 =

et une solution réelle x=-3

merci!!

[XENSECP]

Edit : ouais c'est ca ;)

[oscar]

Bonsoir

Je troiuve

z³+5z²+ 11z+15 = ( z+3)(z² + 2z +5)
racine réelle -3
Tes racines complexes sont fausses
Le discriminant est - 16

[XENSECP]

Ah oui en effet...j'ai pas vérifié la 1ère question ;)

[abcd22]

Bonjour,

1/ Montrer qu'il existe 3 réels tels que pour tout complexe z :

z^3+5z^2+11z+15 = (z+3) (az^2+bz+c)

donc j'ai développer l'expression de droite je trouve az^3+bz^2+cz+3az^2+3bz+3c soit az^3+z^2 ( 3a+b) +z(b+c)+3c

Tu ne montres rien en faisant ça, pour montrer l'existence de a, b et c avec cette méthode il faut montrer qu'en identifiant les coefficients on trouve bien des solutions, mais c'est ce qui est demandé à la question 2, pas ici.
Ici on te demande d'utiliser la propriété : un polynôme P peut s'écrire sous la forme P(z) = (z - a) Q(z) (où Q est un polynôme et a un nombre complexe) si et seulement si a est une racine de P.

[oscar]

Re

a=1

3a+b = 5 => b = 2

3b+c = 11 et 3c= 15=> c= 5