Equations différentielles

[valentin.b]

J'essaie de trouver des solutions à des équations différentielles :

Ay + By'' = C
Et
Ay + By' + Cy'' = D

Je vous passe la démonstration... C'est long ^^' (d'ailleur comment on fait pour afficher des images qui sont sur notre ordinateur dans les messages ?)
Pour la première je trouve:
y(x) = Cte*cos[ (A/B)^(1/2)*x + Cte ] + C/A
(Celle là je suis quasi sûr)
Et la seconde :
y(x) = Cte*cos[ ([[COLOR=Blue]4CA-B²]/2C)^(1/2)*x + Cte ][/COLOR]*exp[ -B/2C*x ]+ D/A

C'est ça ?

[Cauchy3]

A, B, c et D.. sont des constantes positives?

[XENSECP]

Il y a des conditions effectivement ;)

[valentin.b]

Dans les deux cas, A, B et C, et A, B, C et D sont des constantes (réelles)

[XENSECP]

Alors faut savoir si c'est positif ou pas car sinon c'est nettement + complexe ;)

En vrai tu as des données ou tu préfère continuer dans le "théorique" ?

[valentin.b]

Ba écoute... oui

[valentin.b]

Est-ce que je pourais savoir comment on affiche des images, s'il vous plait ?

[Euler911]

Bonjour,

Voir ici

[valentin.b]

*Quand je dit oui, je dit : "Que les constantes soient positives..."

[valentin.b]

[valentin.b]

Merci Euler911

[Euler911]

De rien! .

[valentin.b]

Ca fait un peu bricolage... Pour la solution avec l'exponentielle, c'est juste intuitif, par rapport à la physique : les oscillations amorties des dipôles RLC répondent à une équations différentielles qui sont comme celles-ci. Et vous remarquez que je ne trouve pas le même résultat que ce que je vous ai donné au début, d'où la question...

[Black Jack]

Je n'ai pas eu le courage de tout lire, cependant :

En supposant la forme de la solution connue (comme dans le message 10) on risque de s'imposer des contraintes qui ne figurent pas dans l'énoncé.

Si avec Ay + By' + Cy'' = D (A, B, C et D positifs), on a B²-4AC < 0, on arrive bien à une solution comme celle proposée , soit : y(x) = Cte*cos[ ([4CA-B²]/2C)^(1/2)*x + Cte ]*exp[ -B/2C*x ]+ D/A

Mais si on a soit: B²-4AC = 0 ou bien B²-4AC > 0, alors la solution proposée n'est pas correcte...
Mais ces solutions existent, elles sont cependant de formes différentes à celle qu'on trouve avec B²-4AC < 0.

:zen:

[valentin.b]

J'ignorais que les équations différentielles du second degré se comportaient comme des polynômes du second degré... Mais je suis toutjours prés pour apprendre plus.

[Black Jack]

Rappel théorique.
(Mais cela revient à résoudre entièrement ta question, ce qui n'est pas dans la politique du forum).
Je le fais car l'approche n'est que théorique, mais je vais peut-être me faire réprimander.

Ay + By' + Cy'' = D

C'est plus habituel de l'écrire ainsi : Cy'' + By' + Ay = D

Il faut commencer par trouver les solutions de l'équation avec second membre = 0.
Soit: Cy'' + By' + Ay = 0

On écrit l'équation caractéristique qui est p²C + pB + A = 0 (1)

On cherche les racines de cette équation, soit:
p1 = [-B - (B²-4AC)^(1/2)]/(2C)
p2 = [-B + (B²-4AC)^(1/2)]/(2C)

a) Si B²-4AC < 0, les solutions de (1) sont de la forme: y = e^(-Bx/(2C)) * [C'1.sin(x*V(4AC-B²)) + C'2.cos(x*V(4AC-B²))
Et on peut aussi écrire en équivalent: y = C1.e^(-Bx/(2C)) * cos(x*V(4AC-B²) + C2)

b) si B²-4AC = 0, alors p1 = p2 = -B/(2C)
Les solutions de (1) sont de la forme: y = C1.e^(-Bx/(2C)) + C2.x.e^(-Bx/(2C))

c) si B²-4AC > 0,
Les solutions de (1) sont de la forme: y = C1.e^(p1.x) + C2.e^(p2.x)

Il faut ensuite chercher une solution particulière à l'équation avec second membre complet, soit à l'équation Ay + By' + Cy'' = D
Ceci est immédiat et une solution particulière est y = D/A

Les solutions générales de l'équation Ay + By' + Cy'' = D sont la somme des solutions de l'équation avec second membre = 0 et de la solution particulière.

Donc :

- Si on a Si B²-4AC < 0; les solutions générales de l'équation sont :y = C1.e^(-Bx/(2C)) * cos(x*V(4AC-B²) + C2) + D/A

- Si on a Si B²-4AC = 0; les solutions générales de l'équation sont :y = C1.e^(-Bx/(2C)) + C2.x.e^(-Bx/(2C)) + D/A

- Si on a Si B²-4AC > 0; les solutions générales de l'équation sont :y = C1.e^(p1.x) + C2.e^(p2.x) + D/A
Avec p1 = [-B - (B²-4AC)^(1/2)]/(2C) et p2 = [-B + (B²-4AC)^(1/2)]/(2C)

Je n'ai rien vérifié ...

:zen:

[valentin.b]

C'est amusant que ça ressemble autant au polynômes. Ca se voit même sur les solutions :La fonction existe si:v(4AC-B²) existe ou4AC-B²>0<=> B²-4AC<0
Merci