Avis aux amateurs de suites numériques

[illhuyn-athésia]

Bonjour à tous !
Je suis chargée études statistiques dans une société d'assurances qui gère entre autre un centre de relations clients.
Je suis en train de développer une modélisation des appels redondants (Appels reçus émanant d'un même client) en fonction du taux de prise d’appels (les clients sont basculés en file d’attente (petite musique :happy2: ) ou reçoivent un message du type « toutes nos lignes sont occupées, veuillez rappeler ultérieurement » :mur: : ceci génère des appels non servis, et donc en définitive nous observons un taux de prise d’appels = appels servis / total appels reçus
A partir d’hypothèses de base simples (l’ensemble des clients renoncent à rappeler s’ils ne sont pas servis au bout de la n-ième tentative), j’ai écrit les équations des appels servis, et des appels redondants.
Il se trouve que l’équation des appels servis suit une suite géométrique (un+1 = q.un ).
(NB : désolé je ne sais pas comment écrire les équations en mettant en forme les indices et les exposants sur ce forum ; j’en fais appel à votre bon jugement).
J’ai donc la formule 1 + q + q2…. + qn = (1-q(n+1) ) / (1-q)
Ceci me permet donc d'automatiser ma modélisation (ou « simulation ») : sous excel, je fais jouer quelques paramètres (le nb de clients, le nb de tentatives) et j'obtiens instantanément ma courbe d’évolution des appels servis en fonction du taux de prise.
J’aimerais faire la même chose avec les appels redondants.
Or il se trouve qu’une sous-partie de l’équation ressemble à une suite géométrique, mais « q » de (un+1 = q.un ) n’est pas constant : la suite obéit en fait à la formule :
U un+1 = ( q* (n+1) / n ) * un
Le facteur multipliant dépend donc de la position dans la suite :
Si je développe les « n » 1ers termes cela donne :
1 + 2q + 3q2 + 4q3 + …..+ (n+1)qn
C’est là que mes connaissances lointaines (y'a 10 ans) sur les suites numériques « sèchent ».
Quelle est la formule « F » de cette suite : 1 + 2q + 3q2…..+ (n+1)qn = F(q,n) ?
(NB : le (n+1) placé après le q est un exposant)
Merci à ceux qui voudront bien se pencher sur cette équation !!

[magnolia86]

Quelle est la formule « F » de cette suite : 1 + 2q + 3q2…..+ (n+1)qn = F(q,n) ?
(NB : le (n+1) placé après le q est un exposant)

est la dérivée de .
La seconde expression s'écrit , donc la première s'écrit ... (je te laisse dériver par rapport à q :happy2: )

[illhuyn-athésia]

Ha ben oui tiens je m'étais pas rendu compte que c'était la dérivée !
En même temps même si je l'avais vu j'aurais pas su qu'il faut dériver la formule de la 2nde expression pour obtenir la 1ère.
Hé bien je n'ai plus qu'à "réviser" mes vieux cours pour trouver la réponse :cry:
Enfin je crois que j'en ai de bon souvenirs lol
Merci pour le tuyau et mes neurones vous remercient de ne pas donner une réponse prête à digérer !! Sympa pour eux mais pas sympa pour moi :we:
Bon je vais "réviser" çà ce soir !
A priori je pense que c'est facile à dériver mais j'ai perdu toute notion depuis le temps il ne me reste que les prémisces.

[illhuyn-athésia]

La seconde expression s'écrit , donc la première s'écrit ... (je te laisse dériver par rapport à q :happy2: )

Voilà j'ai tenté la dérivée de l'expression : avec (u/v)' = (u'v - uv') / v^2

J'obtiens : 1 + (n+1)q^(n+2) - (n+2)q^(n+1)

Or j'ai testé avec q = 3 et n = 3 :

1 + 2q + 3q2 + 4q3 = 1 +6 +27 +108 = 142
1 + 4q^5 - 5q^4 = 1 + 972 - 405 = 568

Rien à voir !
Conclusion je sèche ! j'ai dû mal effectué la décompo en cours de route, mais je ne vois pas.

OK donc en relisant mon post, me rends compte que j'ai oublié le v^2 = (1-q)2 qui s'est évanoui à un moment donné sur mon brouillon
(1-q)^2 = 4 avec mon exemple q=3
Et 568 / 4 = 142
Rhââââ ! Trop de bonheur !
Merci Magnolia pour votre apport !
J'ai rajeuni de 10 ans en faisant cet exo. :ptdr:

[magnolia86]

oui, le v² à ne pas oublier :++: