Bonjour,
Pour vos révisions, un petit problème de méca pratique:
un voilier de masse M (disons 10 tonnes, mais peu importe) est encalminé juste sur l'équateur.
Le pacha, qui est physicien (théoricien, vous verrez pourquoi...), décide de transférer son ancre (de masse m, disons 200 kg pour rester réaliste) en haut de son mât (h = 20 m). Le bateau se met soudain en mouvement!
Pourquoi? Dans quelle direction? A quelle vitesse ?
Un problème pratique de référentiel
18 messages
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par le_fabien » 08 Juil 2008, 18:47
Bonjour,
le fait d'élever cette masse de 200 kg sur le mat implique que le centre de gravité du bateau s'éleve aussi (disons 2 mètres)
Ce bateau étant sur l'équateur il a un mouvement circulaire uniforme et donc une accélération normale an=V²/R où V vitesse (référentiel géocentrique) et R rayon de la Terre (aussi distance du centre de gravité du bateau et du centre de la Terre)
Et bien je pense que si on augmente R alors forcément V² doit augmenter car an doit rester constante.
le bateau va prendre la direction du sens de rotation de la Terre sur son axe.
C'est mon idée,suis je sur la bonne voie ?
le fait d'élever cette masse de 200 kg sur le mat implique que le centre de gravité du bateau s'éleve aussi (disons 2 mètres)
Ce bateau étant sur l'équateur il a un mouvement circulaire uniforme et donc une accélération normale an=V²/R où V vitesse (référentiel géocentrique) et R rayon de la Terre (aussi distance du centre de gravité du bateau et du centre de la Terre)
Et bien je pense que si on augmente R alors forcément V² doit augmenter car an doit rester constante.
le bateau va prendre la direction du sens de rotation de la Terre sur son axe.
C'est mon idée,suis je sur la bonne voie ?
par Dominique Lefebvre » 08 Juil 2008, 19:29
LEFAB11 a écrit:Bonjour,
le fait d'élever cette masse de 200 kg sur le mat implique que le centre de gravité du bateau s'éleve aussi (disons 2 mètres)
Ce bateau étant sur l'équateur il a un mouvement circulaire uniforme et donc une accélération normale an=V²/R où V vitesse (référentiel géocentrique) et R rayon de la Terre (aussi distance du centre de gravité du bateau et du centre de la Terre)
Et bien je pense que si on augmente R alors forcément V² doit augmenter car an doit rester constante.
le bateau va prendre la direction du sens de rotation de la Terre sur son axe.
C'est mon idée,suis je sur la bonne voie ?
Hummm.. Pas vraiment! Déjà tes ordres de grandeur sont suspects: un bateau de 10 tonnes ne peut pas voir son centre de gravité déplacé de 2 m parce qu'on hisse une ancre de 200 kg dans la mâture...
Ensuite, je ne l'ai pas précisé mais, à défaut de mention contraire, nous sommes dans un référentiel terrestre non galiléen... Il y a donc du Coriolis dans l'air!
Allez un incide: vous appelerez v, la vitesse qu'on considérera comme constante, avec laquelle le pacha hisse l'ancre dans la mâture, et T le temps que prend l'opération....
par le_fabien » 08 Juil 2008, 19:34
Il est vrai que j'ai essayé de résoudre ce petit problème avec les outils de terminale S mais si il y a du Coriolis dans les voiles.... :we:
par Dominique Lefebvre » 08 Juil 2008, 19:37
LEFAB11 a écrit:Il est vrai que j'ai essayé de résoudre ce petit problème avec les outils de terminale S mais si il y a du Coriolis dans les voiles.... :we:
Certes... Disons que c'est plutôt un pb de khôlle en math sup.
Quelques précisions à ceux qui ne manqueront pas de chipoter : on considère que l'ancre est liée au navire. Et ne vous attendez pas à un mouvement considérable ! Le pacha est un théoricien qui a des idées mais pas vraiment le sens des réalités!
par Dominique Lefebvre » 10 Juil 2008, 21:42
Bonsoir,
je vois que mon petit problème ne rencontre que peu d'écho...
Un début de solution, laors!
J'appelle v la vitesse à laquelle le pacha hisse l'ancre dans la mature.
Dans le référentiel terrestre, considéré comme non galiléen (ce qu'il est en fait...), l'ancre et le bateau il est lié, subissent la force de Coriolis
.
Cette force déplace le bateau vers l'Ouest sur l'équateur.
Saurez-vous continuer?
je vois que mon petit problème ne rencontre que peu d'écho...
Un début de solution, laors!
J'appelle v la vitesse à laquelle le pacha hisse l'ancre dans la mature.
Dans le référentiel terrestre, considéré comme non galiléen (ce qu'il est en fait...), l'ancre et le bateau il est lié, subissent la force de Coriolis
.Cette force déplace le bateau vers l'Ouest sur l'équateur.
Saurez-vous continuer?
par sue » 10 Juil 2008, 23:05
j'ai vu le problème ... mais ce qui m'intrigue et ce que tu viens de comfirmer Dominique , pourquoi on peut pas négliger la force de Coriolis ?! vue les ordres de grandeur , concrètement , elle est trés faible et ce n'est pas pour autant que le navire va se déplacer !
par Dominique Lefebvre » 10 Juil 2008, 23:19
sue a écrit:j'ai vu le problème ... mais ce qui m'intrigue et ce que tu viens de comfirmer Dominique , pourquoi on peut pas négliger la force de Coriolis ?! vue les ordres de grandeur , concrètement , elle est trés faible et ce n'est pas pour autant que le navire va se déplacer !
Si, si... A condition que les frottements ne soient pas trop forts (la coque est bien carénée!). Mais bon, ce n'est pas pour rien que j'ai précisé que le pacha était théoricien! Effectivement, ce n'est pas avec la vitesse acquise que le navire va gagner la route du rhum! c'est un problème d'école...
par sue » 10 Juil 2008, 23:27
Dominique Lefebvre a écrit:Si, si... A condition que les frottements ne soient pas trop forts (la coque est bien carénée!). Mais bon, ce n'est pas pour rien que j'ai précisé que le pacha était théoricien! Effectivement, ce n'est pas avec la vitesse acquise que le navire va gagner la route du rhum! c'est un problème d'école...
ok ok
Tu as tout dis alors ! il reste quoi ?
par Dominique Lefebvre » 11 Juil 2008, 08:30
Il reste à trouver la petite astuce que te permettra de trouver le résultat. Mais j'ai honte, c'est une astuce essentiellement calculatoire, petite...
par sue » 11 Juil 2008, 15:26
la méthode des perturbations nous donne une valeur approchée de la vitesse
On prend dans l'expression de la force de Coriolis l'expression de la vitesse non pertubée ie
la latitude de l'équateur est 0° donc
on a alors :
(approchée) on réapplique alors PFD :
(approchée) ce qui nous donne : 
on intègre par rapport au temps on obtient :=2\omega v t\vec{i}-gt\vec{k})
en tt cas ce ne sont que des valeurs approchées et je doute fort que c'est ce qu' on attend ...
On prend dans l'expression de la force de Coriolis l'expression de la vitesse non pertubée ie
la latitude de l'équateur est 0° donc
on a alors :
on intègre par rapport au temps on obtient :
en tt cas ce ne sont que des valeurs approchées et je doute fort que c'est ce qu' on attend ...
par Black Jack » 05 Aoû 2008, 17:45
Approche par la conservation de la quantité de mouvement dans un référentiel géocentrique.
Avec v1 la vitesse de la Terre à l'équateur (altitude 0)
m la masse de l'ancre, M la basse du bateau (sans l'ancre)
La vitesse de l'ancre est v1 - w.h = v1 - (2Pi/(24*3600))*20 = v1 - 0,00145
Soit v2 le vitesse du bateau et de l'ancre remontée (dans le référentiel géocentrique)
On a M.v1 + m.(v1 - 0,00145) = (M+m).v2
Et on a v1 = wR = (2.Pi/(24*3600))*6370000 = 463 m/s
et donc v2 = (463M + 462,99855m)/(M+m)
Et en repassant dans un référentiel terrestre, la vitesse v du bateau est v = V2 - V1
v = (463M + 462,99855m)/(M+m) - 463
v = -0,00145 m/(M+m)
Le signe - indique que le bateau prend du retard sur la rotation de la Terre --> le bateau va vers l'ouest.
si m = 200 kg et M = 10000 kg
Le bateau part vers l'Ouest avec une vitesse de 2,8.10^-5 m/s
Aux erreurs de calculs près.
:zen:
Avec v1 la vitesse de la Terre à l'équateur (altitude 0)
m la masse de l'ancre, M la basse du bateau (sans l'ancre)
La vitesse de l'ancre est v1 - w.h = v1 - (2Pi/(24*3600))*20 = v1 - 0,00145
Soit v2 le vitesse du bateau et de l'ancre remontée (dans le référentiel géocentrique)
On a M.v1 + m.(v1 - 0,00145) = (M+m).v2
Et on a v1 = wR = (2.Pi/(24*3600))*6370000 = 463 m/s
et donc v2 = (463M + 462,99855m)/(M+m)
Et en repassant dans un référentiel terrestre, la vitesse v du bateau est v = V2 - V1
v = (463M + 462,99855m)/(M+m) - 463
v = -0,00145 m/(M+m)
Le signe - indique que le bateau prend du retard sur la rotation de la Terre --> le bateau va vers l'ouest.
si m = 200 kg et M = 10000 kg
Le bateau part vers l'Ouest avec une vitesse de 2,8.10^-5 m/s
Aux erreurs de calculs près.
:zen:
par Dominique Lefebvre » 17 Aoû 2008, 23:38
Bonsoir,
Je rentre de vacance et je prends connaissance du résultat de cette discussion...
Il y a plus élégant, Black jack!
Si je note V la vitesse constante à laquelle le marin hisse l'ancre dans la matûre et que je considère (à juste titre!) que l'ancre est solidaire du bateau, alors l'ancre et le bateau sont soumis à la force de Coriolis pendant la durée du mouvement de l'ancre (notons cette durée tau). J'ai déjà donné l'expression de cette force dans un message précédent. Le bateau est sur l'équateur et donc il se déplace vers l'Ouest sous l'effet de cette force (c'est le signe - dans l'expression de la force qui le prouve, comme l'a noté Black Jack).
A quelle vitesse?
Pendant le mouvement, nous pouvons écire l'équation de conservation (M+m)dv/dt = 2m*Omega*V = 2m*Omega*h/tau.
Sachant que la vitesse v du bateau augmente linéairement et que v atteint son maximum à t = tau, j'en déduis vm = 2*m*Omega*h/(M+m), soit 6*10^-5 m.s-1 (2*200*7,3*10^-5*20/(10000+200)
Comme vous le constater, c'est une vitesse grandiose! Il faudra trouver autre chose pour sortir du pot au noir!
Je rentre de vacance et je prends connaissance du résultat de cette discussion...
Il y a plus élégant, Black jack!
Si je note V la vitesse constante à laquelle le marin hisse l'ancre dans la matûre et que je considère (à juste titre!) que l'ancre est solidaire du bateau, alors l'ancre et le bateau sont soumis à la force de Coriolis pendant la durée du mouvement de l'ancre (notons cette durée tau). J'ai déjà donné l'expression de cette force dans un message précédent. Le bateau est sur l'équateur et donc il se déplace vers l'Ouest sous l'effet de cette force (c'est le signe - dans l'expression de la force qui le prouve, comme l'a noté Black Jack).
A quelle vitesse?
Pendant le mouvement, nous pouvons écire l'équation de conservation (M+m)dv/dt = 2m*Omega*V = 2m*Omega*h/tau.
Sachant que la vitesse v du bateau augmente linéairement et que v atteint son maximum à t = tau, j'en déduis vm = 2*m*Omega*h/(M+m), soit 6*10^-5 m.s-1 (2*200*7,3*10^-5*20/(10000+200)
Comme vous le constater, c'est une vitesse grandiose! Il faudra trouver autre chose pour sortir du pot au noir!
par Black Jack » 18 Aoû 2008, 14:21
Bonjour Dominique,
Je ne sais pas si l'approche est plus élégante puisqu'elle fait appel à la vitesse de montée de l'ancre, alors que le résultat à trouver est indépendant de cette vitesse.
Mais c'est sans grande importance.
Il y autre chose de bien plus intéressant à noter, les 2 méthodes donnent des résultats différents, le rapport des 2 réponses est exactement 2.
Ce serait intéressant de comprendre la raison de ce facteur 2.
Sans m'être penché sérieusement sur le problème, je n'ai pas vu d'erreur flagrante ni dans l'une ni dans l'autre des approches.
Si quelqu'un a un avis ...
:zen:
Je ne sais pas si l'approche est plus élégante puisqu'elle fait appel à la vitesse de montée de l'ancre, alors que le résultat à trouver est indépendant de cette vitesse.
Mais c'est sans grande importance.
Il y autre chose de bien plus intéressant à noter, les 2 méthodes donnent des résultats différents, le rapport des 2 réponses est exactement 2.
Ce serait intéressant de comprendre la raison de ce facteur 2.
Sans m'être penché sérieusement sur le problème, je n'ai pas vu d'erreur flagrante ni dans l'une ni dans l'autre des approches.
Si quelqu'un a un avis ...
:zen:
par Dominique Lefebvre » 18 Aoû 2008, 14:37
Black Jack a écrit:Bonjour Dominique,
Je ne sais pas si l'approche est plus élégante puisqu'elle fait appel à la vitesse de montée de l'ancre, alors que le résultat à trouver est indépendant de cette vitesse.
Mais c'est sans grande importance.
:zen:
Si la vitesse de montée de l'ancre est nulle, le problème n'a plus de sens....
par Black Jack » 18 Aoû 2008, 14:48
Si la vitesse de montée de l'ancre est nulle, le problème n'a plus de sens....
Certes mais si la vitesse de montée de l'ancre est nulle, alors le temps pour la remonter de 20 m est infini.
La réponse finale (vitesse finale du bateau) ne dépend pas de la manière dont l'ancre est remontée, vitesse constante ou non, mais il faut bien entendu qu'elle soit remontée et que donc la vitesse de remontée ne soit pas nulle en permanence.
:zen:
par Black Jack » 20 Aoû 2008, 09:01
Remise à niveau des 2 solutions.
J'ai eu le tort d'assimiler le mouvement du bateau à une ligne droite (ce que j'avais fait étant donné les faibles déplacements par rapport au rayon de la Terre)
Je recommence mais cette fois en tenant compte que le bateau se déplace sur un cercle (équateur) et donc : conservation du moment cinétique.
Dans un référentiel géocentrique :
Avec m la masse de l'ancre, M la masse du bateau, w la vitesse angulaire de la Terre, R le rayon de la Terre, h la hauteur dont l'ancre est remontée.
w' est la vitesse angulaire de l'ensemble bateau + ancre lorsque l'ancre est remontée.
La conservation du moment cinétique donne directement : (m(R-h)² + MR²)w = (m+M)R²w'
w' = (m(R-h)² + MR²)w/[(m+M)R²]
Avec m = 200 kg; M = 10000 kg, R = 6400000 m, w = 2Pi/(24*3600) = 7,27220521664.10^-5 rad/s
On trouve w' = 7,27220432544.10^-5
La vitesse finale du bateau dans un référentiel Terrestre est donc v = (w'-w)*R = -5,7.10^-5 m/s
Le signe - indique que le bateau prend du retard sur la rotation de la Terre et donc part vers l'Ouest.
Cette vitesse finale du bateau est indépendante de la manière dont on a relevé l'ancre.
:zen:
J'ai eu le tort d'assimiler le mouvement du bateau à une ligne droite (ce que j'avais fait étant donné les faibles déplacements par rapport au rayon de la Terre)
Je recommence mais cette fois en tenant compte que le bateau se déplace sur un cercle (équateur) et donc : conservation du moment cinétique.
Dans un référentiel géocentrique :
Avec m la masse de l'ancre, M la masse du bateau, w la vitesse angulaire de la Terre, R le rayon de la Terre, h la hauteur dont l'ancre est remontée.
w' est la vitesse angulaire de l'ensemble bateau + ancre lorsque l'ancre est remontée.
La conservation du moment cinétique donne directement : (m(R-h)² + MR²)w = (m+M)R²w'
w' = (m(R-h)² + MR²)w/[(m+M)R²]
Avec m = 200 kg; M = 10000 kg, R = 6400000 m, w = 2Pi/(24*3600) = 7,27220521664.10^-5 rad/s
On trouve w' = 7,27220432544.10^-5
La vitesse finale du bateau dans un référentiel Terrestre est donc v = (w'-w)*R = -5,7.10^-5 m/s
Le signe - indique que le bateau prend du retard sur la rotation de la Terre et donc part vers l'Ouest.
Cette vitesse finale du bateau est indépendante de la manière dont on a relevé l'ancre.
:zen:
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