Somme de 4 carrés

[Imod]

Comment résoudre ce petit problème au niveau lycée ( donc éviter les :triste: ) .

Soient a , b , c , d , quatre entiers avec ab=cd , a²+b²+c²+d² peut-il être premier ?

Amusez-vous bien !!!

Imod

[lapras]

Non il est toujours composé !
(factorisation toute bête)

[Imod]

factorisation toute bête

Mais encore ?

Imod

[IPCST]

http://anevka.info/elliptic/Math4Crypto/ECC/exos/pdf/exo17.pdf

[IPCST]

avec



précisions :
si a=b=c= , d=1 ( par exemple ) , on ne peut avoir AB=CD

[miikou]

imod on peut factoriser par ab

[nodgim]

La seule forme impaire de la somme de ces 4 carrés est 2^2k+a^2j+2^(2k-2i)+ a^2j*2^2i, a étant impaire.
Or, on peut voir dans cette somme la factorisation:
(2^2i +1)(a^2j+2^(2k-2i))
:id:

[IPCST]

Soit



DONC avec



et


Dans on a :



et comme


on a :

[miikou]

heu xD plus modestement
a²+b²+c²+d² = (a-b)² + (c-d)² + 4 ab

soit ab est impaire, dans ce cas (a-b)² pair on conclus directement
soit ab pair
si a et b sont pairs (a-b)² aussi on conclus
si a pair et b impaire => (a-b)² impaire
donc (d-c)² impaire, en sommant (a-b)²+ (c-d)² +4ab est pair

ce qui conclus ( on traite le cas trivial 2 a part )

[lapras]

Heureusement qu'on a dit niveau lycée !
a/c = d/b = x/y

=> , , ,
donc

[abcd22]

On suppose ab = cd non nul ou pas ?

[magnolia86]

On suppose ab = cd non nul ou pas ?

C'est en quelque sorte la réponse à la question d'Imod a²+b²+c²+d² peut-il être premier ?

[Imod]

Beaucoup de réponses :zen:

J'attendais celle de Lapras ( interprétation géométrique ? ) avec la réserve de abc22 pour être complet .

Imod