Dérivée en chaîne et matrice jacobienne ?

[Daimios]

Salut à tous

Je me permet de recréer un post pour un autre problème concernant la dérivation en chaîne. je dois pouvoir résoudre un exercice de ce type :

http://nsa02.casimages.com/img/2008/08/15/080815050452387850.jpg (peur de peter le layout si j'utilise les balises, je préfère mettre le lien directement).

le problème est que je n'arrive pas à adapter cet exercice aux explications théoriques de mon cours. Y aurait il non pas 2 (f et g) mais 3 fonctions différents à dériver ? g1, g2 et f? dans ce cas, comment faire ? a priori, je dois utiliser les données pour construire la jacobienne puis ensuite "pêcher" la bonne réponse dans celle ci, non ?

Merci

[Joker62]

Non tu dois juste donner ta réponse.
Les différentes dérivées que l'ont aperçoit sont justes là pour t'aider à répondre.

Donc :

Faire un bon dessin des fonctions, de leurs ensemble d'arrivé ( 1 ou deux variable ) de leur espace final et utilise les formules connues.

[Daimios]

pourrais tu m'en dire un peu plus ?

[Joker62]

d(fog)(0,0) = d(f)(g(0,0)).d(g)(0,0)

[paulselvan]

R² -> R² -> R
(x,y) -> (g1,g2) - > f
f[g1(x,y),g2(x,y)] = fog = f(x,y)
df/dx=d(fog)/dx=(df/dg1).dg1/dx+(df/dg2).dg2/dx=(dg/dx).;)f
d'où :
resultat = dg/dx(0,0).;)f(0,0)=(2,-1).(3,-1)=7
qu'en dis joker62

[Daimios]

En fait je m'embrouille entre fog et gof je pense.. voila ce que j'ai essayé de faire en utilisant les matrices jacobiennes.

f o g => f[g1(x,y),g2(x,y]

(x,y) = (0,0) => f(1,0) (pas sur de mon interpretation de l'énonce la..).

jacobienne d(fog) =

[-3 7] *
[ 2 4 ]
-1 -3

= [-13 -33] et donc dfog/dx = -13 ?


j'ai un peu l'impression de me vautrer totalement :cry:

[nuage]

Salut,
ici on peut faire les choses «à la main».

En supposant, bien sur «petits».
On a donc en substituant :


Ce qui permet de vérifier ton résultat.

Mais il est évident que le calcul matriciel est plus rapide, et que c'est la méthode recommandée.

[Daimios]

j'aurais donc la bonne réponse ? j'etais déja en train de tresser ma corde.. y'a peut être moyen que je le réussisse cet exam finalement.. un grand merci :we:


question subsidiaire si qqun repasse sur ce post, je ne suis pas certain : la propriété disant que la trace d'une matrice est égale à la somme de ses valeurs propres, est elle uniquement valable en cas de matrice symétrique ? a fortiori, un horrible doute m'assaille a force de lire et relire mon cours : une matrice carrée non symétrique peut elle être diagonalisable ? c'est toujours avant un exam que un tas de questions simples viennent à l'esprit..

[nuage]

La trace est égale à la somme des valeurs propres, en tenant compte de leur multiplicité et si elles existent.

une matrice carrée non symétrique peut elle être diagonalisable ?

Bien sur, par exemple (dans ) :

[Joker62]

ça se vérifie aisément d'ailleurs.

SI on peut diagonaliser une matrice A, il existe P et D telles que A = PDP^-1
En passant à la trace on a :

Tr(A) = Tr(PDP^-1) = Tr(P(DP^-1)) = Tr((DP^-1)P) = Tr(D)

[abcd22]

Peut-être que tu as fait des raccourcis de rédaction que tu ne ferais pas sur une copie, mais au cas où ce ne serait pas le cas :

f o g => f[g1(x,y),g2(x,y]

f o g(x, y) = f(g1(x, y), g2(x, y)) (ça ne veut rien dire « f o g => ... »)

(x,y) = (0,0) => f(1,0) (pas sur de mon interpretation de l'énonce la..).

Idem, f(1, 0) n'est pas une proposition, ça ne veut rien dire « ... => f(1, 0) ».

jacobienne d(fog) =

C'est la matrice de d(f o g)(0,0) que tu calcules.
d(f o g) est une application de R² dans l'ensemble des endomorphismes de R² dans R, d(f o g)(0, 0) est un endomorphisme de R² dans R; c'est la même différence qu'entre f et f(0) pour f de R dans R.

[Daimios]

yep, tout a fait, je voulais simplement m'assurer que le raisonnement était bon mais merci :)

bon.. dernier point qui fait de la résistance dans ce cours puis je devrais être pret j'espère :mur: :

Je sais que dans les problèmes d'optimisations sans contraintes on utilise le genre de la matrice hessienne pour déterminer si les points critiques sont minimum, maximum ou point de selle. Néanmoins, quelle est la technique à suivre pour déterminer cela dans le cas d'optimisations avec contrainte d'inéquations/d'inégalités ? je sais comment trouver les points, mais ne comprend pas la méthode pour déterminer si c'est un max/min, local/global. Je vois l'utilisation de variables d'écart mais ca reste assez flou. Bref, si qqun à encore un peu de temps à me consacrer :langue: