équation à 3 inconnues
Olympiades mathématiques, énigmes et défis
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guigui51250
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par guigui51250 » 13 Aoû 2008, 16:16
Résoudre dans
l'équation :
J'ai essayé de résoudre mais je n'arrive pas alors si quelqu'un peut m'aider.
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lapras
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par lapras » 13 Aoû 2008, 16:45
salut
l'équation se réécrit :
yz + 2zx - 3xy = xyz
montre par récurrence que pour tout x et pour tout y >= 3,
y+2x < xy
D'où l'équation n'a pas de soution pour x et y >= 3.
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guigui51250
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par guigui51250 » 13 Aoû 2008, 16:54
lapras a écrit:salut
l'équation se réécrit :
yz + 2zx - 3xy = xyz
montre par récurrence que pour tout x et pour tout y >= 3,
y+2x = 3.
donc
donc
Euh c'est normal que je ne trouve pas
??? :hum:
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lapras
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par lapras » 13 Aoû 2008, 16:57
Suppose qu'il y ait des solutions avec y >= 5 et x différent de 1
alors
y+2x>xy
mais tu prouves par récurrence que pour tout y>=5 y+2xabsurde
donc tu dois étudier les cas :
a)x = 1
b)y <= 4
séparément
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guigui51250
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par guigui51250 » 13 Aoû 2008, 17:18
[quote="lapras"]Suppose qu'il y ait des solutions avec x,y >= 3
alors
y+2x>xy
mais tu prouves par récurrence que pour tout x,y >= 3 , y+2x3[/TEX] il n'y a pas de solution mais je n'ai pas vraiment compris pourquoi
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lapras
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par lapras » 13 Aoû 2008, 17:24
Il suffit juste de tester :
(x = 1 et y = 1) , (x=1 et y = 2) , (x=2 et y = 1) , (x=2 et y=2)
Tu en déduis a chaque fois z et tu regardes si c'est un naturel.
Sais-tu ce qu'est la récurrence ?
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lapras
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par lapras » 13 Aoû 2008, 17:31
Voir ma modif, tu y verras surement plus clair.
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guigui51250
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par guigui51250 » 13 Aoû 2008, 17:34
et bon ce qui j'ai fais c'est quand même bon non?
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lapras
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par lapras » 13 Aoû 2008, 17:35
Il faut étudier mes deux cas a) et b).
Et non x = 1 , x = 2 ...
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Flodelarab
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par Flodelarab » 13 Aoû 2008, 17:45
Dans
, je ne pense pas que ce soit possible mais dans
, on peut essayer ceci.
l'équation devient: yz+2xz-3xy=xyz
yz+2xz>xyz => y+2x>xy
2 cas:
* Si x=1, 2z=3y. Il y a une infinité de triplets possibles (dès que y pair)
* Si x>1, y2
Testons y dans {1;2;3}
- y=1
z+2xz-3x=xz soit z+xz-3x=0 soit z=3x/(x+1)=3-3/(x+1)
Solution: (2;1;2) - y=2
2z+2xz-6x=2xz soit z=3x
Infinité de solutions - y=3 (et x=2 rappelons-le)
3z+4z-18=6z soit z-18=0 soit z=18
Solution: (2,3,18)
En résumé,
S={(1;2k;3k);(3k';2;k');(2;1;2);(2;3;18)}avec
[edit]J'ai rajouté une solution particulière oubliée[/edit]
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guigui51250
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par guigui51250 » 13 Aoû 2008, 17:52
lapras a écrit:Il faut étudier mes deux cas a) et b).
Et non x = 1 , x = 2 ...
ah mais là je coince parce que pour y\frac{y}{y-2}[/TEX] et là je ne sais plus quoi faire :hum:
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lapras
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par lapras » 13 Aoû 2008, 18:00
Le cas x = 1 est immédiat :
2z = 3y d'où...
maintenant si x != 1, j'ai prouvé que y<= 4
a) y = 4
4z-12x=2xz => 2z-3x=xz ; x divise 2 ou z = kx => 2k-3 = kx => k divise 3 =>....
b) y = 3 => 3z-9x=xz ; x divise 3 ou z = kx => 3k - 9 = kx => k divise 9 => ....
c) etc....
c'est tres facile tu vois ?
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Flodelarab
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par Flodelarab » 13 Aoû 2008, 18:07
Non Lapras. y n'est jamais égal à 4
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lapras
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par lapras » 13 Aoû 2008, 18:08
Oui :) Et est ce que j'ai dit que y était égal à 4 ? j'ai prouvé qu'il était <= 4
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guigui51250
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par guigui51250 » 13 Aoû 2008, 18:14
lapras a écrit:Le cas x = 1 est immédiat :
2z = 3y d'où...
maintenant si x != 1, j'ai prouvé que y 2z-3x=xz ; z = kx => 2k-3 = kx => k divise 3 =>....
b) y = 3 => 3z-9x=xz ; z = kx => 3k - 9 = kx => k divise 9 => ....
c) etc....
c'est tres facile tu vois ?
euh non sérieux là je ne vois pas, déjà je ne sais pas pourquoi k divise 9 ou 3 :hum: et après je ne sais pas quoi en déduire
désolé je te prend du temps
:mur: :mur: :mur:
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lapras
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par lapras » 13 Aoû 2008, 18:18
Ok on va faire le premier cas ensemble.
a) y = 4
4z-12x=2xz => 2z-6x=xz ;
si x divise 2, comme x > 1, x = 2 => impossible
si x ne divise pas 2, alors x divise z => z = kx => 4k - 6 = 2kx => k(4-2x) = 6 => k = 1 , 2 , 3 ou 6 car k divise 6
Teste les 4 cas maintenant
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Flodelarab
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par Flodelarab » 13 Aoû 2008, 18:19
lapras a écrit:Oui
Et est ce que j'ai dit que y était égal à 4 ? j'ai prouvé qu'il était <= 4
:look2: Pourquoi as tu affaibli l'inégalité forte y<4 ?
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lapras
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par lapras » 13 Aoû 2008, 18:22
Ma récurrence foirait pour l'initialisation
Démonstration claire : soit x >= 2
3x > 5
5x > 5 + 2x
donc pour y = 5, pour tout x>= 2 , 2x + y < xy
rang y+1 :
2x+y+1donc par récurrence
pour tout y > 4 , pour tout x >= 2 ; 2x + y < xy
comme on travaille dans N*, alors x = 1 ou y<=4
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guigui51250
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par guigui51250 » 13 Aoû 2008, 18:27
lapras a écrit:Ok on va faire le premier cas ensemble.
a) y = 4
4z-12x=2xz => 2z-6x=xz ;
si x divise 2, comme x > 1, x = 2 => impossible
si x ne divise pas 2, alors x divise z => z = kx => 4k - 6 = 2kx => k(4-2x) = 6 => k = 1 , 2 , 3 ou 6 car k divise 6
Teste les 4 cas maintenant
alors pour k=1 j'ai trouvé x=-1
pour k=2 j'ai trouvé x=1/2
pour k=3 j'ai trouvé x=1
pour k=6 j'ai trouvé x=3/2
donc comme on est dans N*, seul k=3 est bon mais comme x>1 bah y=4 n'a pas de solution.
je vais essayer de faire les autres tout seul et je post ce que je trouve
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Flodelarab
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par Flodelarab » 13 Aoû 2008, 18:37
Lapras, je trouve bizarre toute cette exploration. Je n'ai que 2 cas, 3 sous cas. Je trouve 4 types de solutions. Il sera intéressant de comparer.
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