Espace vectoriel - exercices de base

[Charlo]

Soit E un K-e.v.


Comment montrer que :

si lambda appartient à K et x appartient à E de telle sorte que lambda.x = 0E, alors (lambda = 0 ou x = 0E)

quel que soit x appartenant à E, (-1)x = -x où -x désigne l'opposé de x dans (E,+)

quel que soit n appartenant à N*, R^n est un R-e.v.

Merci.

[legeniedesalpages]

Soit E un K-e.v.


Comment montrer que :

si lambda appartient à K et x appartient à E de telle sorte que lambda.x = 0E, alors (lambda = 0 ou x = 0E)

quel que soit x appartenant à E, (-1)x = -x où -x désigne l'opposé de x dans (E,+)

quel que soit n appartenant à N*, R^n est un R-e.v.

Merci.

Bonjour,

pour le premier exo, si , on peut simplifier par les deux membres de l'égalité pour conclure que .

Pour le second exo, que vaut sachant que ?

Pour le troisième, le produit de deux ev est un ev, on étend le résultat par récurrence sur l'entier .

[Charlo]

Bonjour,

pour le premier exo, si , on peut simplifier par les deux membres de l'égalité pour conclure que .

Pour le second exo, que vaut sachant que ?

Pour le troisième, , on étend le résultat par récurrence sur l'entier .

1- comment "simplifier" lambda.x = 0E par lambda ? et si lambda=0 on prend x=0E et on fait de même ?
2- (-1)x+x = (-1+1)x = 0E, donc-x est bien l'opposé de x dans (E,+) c'est ça ?
3- est-il possible de démontrer facilement cela sans utiliser cette propriété (le produit de deux ev est un ev) ?

Merci encore.

PS: désolé je débute... :hein:

[SimonB]

1- comment "simplifier" lambda.x = 0E par lambda ? et si lambda=0 on prend x=0E et on fait de même ?

Non, si lambda=0 t'es content parce que t'as bien conclu.

2- (-1)x+x = (-1+1)x = 0E, donc-x est bien l'opposé de x dans (E,+) c'est ça ?

Oui.

3- est-il possible de démontrer facilement cela sans utiliser cette propriété (le produit de deux ev est un ev) ?

Il suffit de vérifier tous les axiomes de base "à la main", ce qui se fait assez facilement.

[legeniedesalpages]

1- comment "simplifier" lambda.x = 0E par lambda ? et si lambda=0 on prend x=0E et on fait de même ?

tu as ,

si , existe et en multipliant les deux membres de l'égalité par , tu obtiens .

2- (-1)x+x = (-1+1)x = 0E, donc-x est bien l'opposé de x dans (E,+) c'est ça ?

C'est bien ça, si auparavant tu as remarqué que pour tout , on a .

3- est-il possible de démontrer facilement cela sans utiliser cette propriété (le produit de deux ev est un ev) ?

oui mais ça revient à peu près au même. Commence par le montrer pour et , histoire de fixer les idées.

[Edit] grillé :lol2:

[Charlo]

1- Pourquoi 0E = lambda.0E ?
donc si lambda est différent de 0, alors x = 0E
et si lambda n'est pas différent de 0 alors lambda=0 donc ok!

2 et 3- ok, merci :)

[legeniedesalpages]

1- Pourquoi 0E = lambda.0E ?

c'est une conséquence directe des axiomes de base:

pour et , on a

(le montrer).

ensuite tu regardes ce que cette relation donne lorsque .

[Charlo]

D'accord ! =)

Et comment vérifier que tout corps est un espace vectoriel sur lui-même ?

[legeniedesalpages]

tu vérifies tous les axiomes de base.

[Charlo]

Ok je vais essayer de voir ça, merci !