PB de suites numeriques

[sebastien45]

Salut a tous, j'ai besoin de votre aide car je seche...

Soit Un, la suite definie par :

U0=2
Un+1=1+1/Un

Demontrer par recurrence que pour tout n, 3/2;)Un;)2

Merci d'avance pour votre aide

[sebastien45]

Je suis en train de reprendre les chemins de l'école apres 6 ans d'arret, et j'avoue que j'ai pas mal de boulot... Je ne sais plus la methode par recurrence :triste:

[sebastien45]

Voila ce que moi je fais :

U0=2 donc 3/2;)U0;)2
On suppose 3/2;)Un;)2
2/3;)1/Un;)1/2 ! là ça part en vrac...
5/3;)1+1/Un;)3/2

Ou est ce que je me plante ?

[warz_cannon]

Comme son nom l'indique, la méthode de démonstration par récurrence n'est valable que pour les suites définies par récurrence; c'est-à-dire que chaque terme est défini selon le terme précédent et que le premier terme a une valeur fixe.

Donc, une suite de la forme; pour tout n E N u(n+1)=1+1/n
soit pour tout n E N* u(n)=1+1/(n-1)

n'est pas définie par récurrence et on ne peut donc pas lui appliquer la méthode par récurrence.

Ai-je répondu à ta question ?

- Bon courage.

[rene38]

Bonjour

Je pense qu'il y a erreur d'énoncé et que
Démonstration par récurrence :
1) Initialisation : est vrai pour
2) Hérédité : Supposons (hypothèse de récurrence) que la propriété soit vraie jusqu'à l'indice n
alors et
soit


Si la propriété est vraie jusqu'à l'indice n alors elle est vraie à l'indice n+1
Or elle est vraie à l'indice 0.
Donc elle est vraie quel que soit le naturel n.

Tu oubliais que si a et b sont 2 nombres non nuls de même signe, et si a[/b]1/b

[sebastien45]

Je pense qu'il y a erreur d'énoncé et que

Oui j'ai rectifié mon 1er message, désolé...

Démonstration par récurrence :
1) Initialisation : est vrai pour
2) Hérédité : Supposons (hypothèse de récurrence) que la propriété soit vraie jusqu'à l'indice n
alors

La je comprends pas trop ce qui se passe...

et
soit


Si la propriété est vraie jusqu'à l'indice n alors elle est vraie à l'indice n+1
Or elle est vraie à l'indice 0.
Donc elle est vraie quel que soit le naturel n.

Apres je comprends bien la logique

[sebastien45]

Tu oubliais que si a et b sont 2 nombres non nuls de même signe, et si a[/b]1/b

OK !

Un grand merci a toi rene38

[sebastien45]

Mon probleme complet est le suivant :

Soit Un, la suite definie par :

U0=2
Un+1=1+1/Un

Soit f(x)=1+1/x sur ]0;+;)[

Demontrer que f(x)=x admet une solution K
-J'ai trouvé k=(1+;)5)/2

Demontrer par recurrence que pour tout n, 3/2;)Un;)2
-ça c'est fait haut dessus

Montrer que sur [3/2;2], on a |f'(x)|;)4/9
-J'ai |f'(x)|=1/x² donc |f'(3/2)|=4/9 et |f'(2)|=1/4 donc |f'(x)|;)4/9

A l'aide des questions precedentes et en utilisant le theoreme de l'inegalité des accroissements finis, montrer que: |f(Un)-f(K)|;)4/9|Un-K|
-J'ai 1/4;)|f'(x)|;)4/9 et Un>K donc:
1/4(Un-K);)f(Un)-f(K);)4/9(Un-K)

En deduire |Un+1 -K|;)4/9|Un-K|
-f(Un)=Un+1 donc |Un+1 -K|;)4/9|Un-K|

puis que |Un+1 -K|;)(4/9)^n|U0-K|
-On a U0-k=2-(1+;)5)/2=(3+;)5)/2
U1-K=3/2-(1+;)5)/2=1-;)5)/2;)(12+4;)5)/18 l'egalité est verifie
et |Un-(1+;)5)/2|;)(4/9)^n
|Un-(1+;)5)/2|4/9;)(4/9)^n+1
Comme on a |Un+1 -K|;)4/9|Un-K| la relation est donc verifiee pour n+1
Donc |Un+1 -K|;)(4/9)^n|U0-K|

Demontrer alors que la suite Un a pour limite (1+;)5)/2
Commme lim n->+;) (4/9)^n|U0-K|=0 alors lim n->+;) Un=K=(1+;)5)/2

c'est bon ?

[sebastien45]

Je suis bloqué :mur: