Point fixe

[aure555]

Bonsoir,
j'aimerai avoir de plus amples informations concernant les point fixe et plus précisément pour la méthode de recherche de racine.

On dit qu'on peut voir la méthode de Newton comme un cas particulier de la méthode du point fixe.
On a donc avec .

Si (la racine) , on déduit immédiatement de la continuité de que

Là je n'arrive pas à voir ça immédiatement. Comme continue, on a donc mais je ne vois pas comment retomber sur l'égalité.

Ensuite on nous dit qu'il se fait que les points fixes de correspondent aux zéros simples de f. Là aussi je ne vois pas trop pourquoi :hum:

Merci d'avance pour l'aide apportée.

[legeniedesalpages]

On a donc avec .

Si (la racine) , on déduit immédiatement de la continuité de que

Là je n'arrive pas à voir ça immédiatement.

Bonsoir,

dans l'égalité ,

tu passes à la limite et tu obtiens ,

l'avant-dernière égalité est due à la continuité de

[aure555]

Ok je vois maintenant...
Merci pour la rapidité et la clarté de ta réponse

[legeniedesalpages]

. c'est pas très conventionnel comme notation de dérivée,

il faut donner les conditions que tu as sur , pour montrer que les points fixes sont ses zéros simples.

[aure555]

La fonction f doit surement C²... Elle remplie en tout cas les conditions pour être applicable par la méthode de Newton.

Maintenant tu fais peut-être référence à la notion de contraction non?
Si je ne dis pas de bêtise c'est qui doit être contractante pour avoir une suite convergente c'est bien ça?

J'ai vraiment du mal à joindre point fixe et racine...

Avec le calcul expliqué ci-dessus, je vois ben qu'on tombe alors sur un cas particulier de point fixe pour le cas de la méthode de Newton mais je ne vois pas trop comment, dans une méthode générale, pouvoir trouver la fonction qui aura comme point fixe le zéro d'une fonction car on ne connais pas à l'avance la valeur du zéro.

Merci

[legeniedesalpages]

Ensuite on nous dit qu'il se fait que les points fixes de correspondent aux zéros simples de f. Là aussi je ne vois pas trop pourquoi :hum:

Si est un point fixe de , alors , ie , en retranchant la quantité aux deux membres de l'égalité, on obtient , et donc .

Réciproquement si est un zéro de , on a alors , donc est un point fixe de .

Mais rien ne nous dit que est contractante. Si a par exemple plusieurs racines, alors a plusieurs points fixes, donc ne peut pas être contractante.

Et on a plusieurs lots de conditions possibles pour s'assurer que la méthode de Newton nous donne bien ce que l'on veut, il faut se les donner à l'avance.

[aure555]

Ok ok je comprends déjà mieux maintenant toute ces notions.
Merci beaucoup