Injectivité

[The Void]

Bonjour,

En dimension infinie, est-il vrai que si f est linéaire et que l'image de n'importe quelle famille libre par f est libre alors f est injective? Je pense que non, mais je suis pas tout à fait sûr :mur:

Merci!

[aviateurpilot]

soit E ev de dim fini,
et tel que f(famille libre)=famille libre.
si pour alors .
si on prend z tel que la famille libre
on a donc libre ,absurde
donc ===>

est bien injective.

remarque: n'est pas forcement surjective.
par exemple

[abcd22]

Bonjour,
Rédigé autrement, c'est vrai car tout vecteur non nul forme une famille libre à un élément, et réciproquement toute famille libre à un élément est constituée d'un vecteur non nul, la propriété implique donc que l'image d'un vecteur non nul est un vecteur non nul, et le noyau de l'application est réduit à {0}.