Eq. Dif. non linéaire

[hadas]

Bonjour,

dans le cadre d'un stage en cours, je me retrouve avec une équation différentielle non linéaire dans le style:

a(y'(t))²+by'(t)+cy(t) + cte =0.

Quelqu'un saurait-til comment ça peut se résoudre?

Merci

[Skullkid]

Bonjour, si tu recherches une fonction y , tu peux dériver ton équation en une équation du premier ordre en y' : si on pose z = y' on a 2azz' + bz' + cz = 0.

Si je ne m'abuse, cette équation peut se résoudre en séparant les variables, après avoir vérifié que les solutions autres que la fonction nulle ne s'annulaient jamais.

Edit : Ah non désolé, apparemment c'est pas possible d'obtenir une expression de z après avoir séparé les variables...

[hadas]

Merci Skullkid pour la tentative.

Plus personnne pour m'aider???

[john32]

y(t) est une fonction de R dans R ?

[Black Jack]

En dérivant :

2ay'y'' + by'' + cy' = 0

Poser dy/dt = p (avec p fonction de y)

d²y/dt² = dp/dt = dp/dy * dy/dt = p.dp/dt

L'équation devient:

2ap² dp/dt + bp.dp/dt + cp = 0

p = 0 convient et donc y = constante convient...

Si p est différent de 0, alors :

2ap dp/dt + b.dp/dt + c = 0

2ap dp + b.dp = -c dt

On intègre les 2 membres et on tire ensuite p de ce qu'on a trouvé:

Sauf erreur tu devrais arriver à : p = [-b +/- V(b² - 4a(c.t+C1))]/(2a)

dy/dt = [-b +/- V(b² - 4a(c.t+C1))]/(2a)

dy = (-b/(2a)) dt +/- [(1/(2a)) * V(b² - 4a(c.t+C1))] dt

On intègre et de nouveau sauf erreur on arrive à :

y = (-b/(2a))*t +/- (1/(12a²)) * V(b² - 4a(c.t+C1))³ + C2

Il faut donc que tu fasses les calculs intermédiaires que je n'ai pas donné et compléter tout ce qui manque.

Et il est bien possible que j'ai fait des erreurs, à toi de voir.

:zen:

[Sam Mar]

Hello,

juste par curiosité, d'où vient cette équation ? C'est des maths pures ou appliquées que tu fais ?

Merci,

[hadas]

En dérivant :

2ay'y'' + by'' + cy' = 0

Poser dy/dt = p (avec p fonction de y)

d²y/dt² = dp/dt = dp/dy * dy/dt = p.dp/dt

L'équation devient:

2ap² dp/dt + bp.dp/dt + cp = 0

p = 0 convient et donc y = constante convient...

Si p est différent de 0, alors :

2ap dp/dt + b.dp/dt + c = 0

2ap dp + b.dp = -c dt

On intègre les 2 membres et on tire ensuite p de ce qu'on a trouvé:

Sauf erreur tu devrais arriver à : p = [-b +/- V(b² - 4a(c.t+C1))]/(2a)

dy/dt = [-b +/- V(b² - 4a(c.t+C1))]/(2a)

dy = (-b/(2a)) dt +/- [(1/(2a)) * V(b² - 4a(c.t+C1))] dt

On intègre et de nouveau sauf erreur on arrive à :

y = (-b/(2a))*t +/- (1/(12a²)) * V(b² - 4a(c.t+C1))³ + C2

Il faut donc que tu fasses les calculs intermédiaires que je n'ai pas donné et compléter tout ce qui manque.

Et il est bien possible que j'ai fait des erreurs, à toi de voir.

:zen:

Merci pour la piste, je vais l'explorer avec attention et te dire si tout se passe comme prévu...

[hadas]

Hello,

juste par curiosité, d'où vient cette équation ? C'est des maths pures ou appliquées que tu fais ?

Merci,

Lol, elle inquiète tant que ça???
C'est une équation qui provient d'une modélisation en méca . Pourquoi donc?

[hadas]

y(t) est une fonction de R dans R ?

Bonjour,

y(t) est une fonction du temps et est bien de R dans R, mais typée ( pas sans unité).

[acoustica]

En dérivant :

2ay'y'' + by'' + cy' = 0

Poser dy/dt = p (avec p fonction de y)

d²y/dt² = dp/dt = dp/dy * dy/dt = p.dp/dt

L'équation devient:

2ap² dp/dt + bp.dp/dt + cp = 0

p = 0 convient et donc y = constante convient...

Si p est différent de 0, alors :

2ap dp/dt + b.dp/dt + c = 0

2ap dp + b.dp = -c dt

On intègre les 2 membres et on tire ensuite p de ce qu'on a trouvé:

Sauf erreur tu devrais arriver à : p = [-b +/- V(b² - 4a(c.t+C1))]/(2a)

dy/dt = [-b +/- V(b² - 4a(c.t+C1))]/(2a)

dy = (-b/(2a)) dt +/- [(1/(2a)) * V(b² - 4a(c.t+C1))] dt

On intègre et de nouveau sauf erreur on arrive à :

y = (-b/(2a))*t +/- (1/(12a²)) * V(b² - 4a(c.t+C1))³ + C2

Il faut donc que tu fasses les calculs intermédiaires que je n'ai pas donné et compléter tout ce qui manque.

Et il est bien possible que j'ai fait des erreurs, à toi de voir.

:zen:

Hello, je m'incruste: juste une question: il me semble que traiter a part le cas p=0 n'est pas suffisant car rien empeche a p d'etre nul seulement en certains points?

[Pythales]

Black Jack, la 4ème ligne de ton message #5 est fausse.
Tu dis que au lieu de

[hadas]

Merci pour la piste, je vais l'explorer avec attention et te dire si tout se passe comme prévu...

Suis déjà de retour et je suis pas d'accord avec une assertion:

d²y/dt² = dp/dt = dp/dy * dy/dt = p.dp/dt

suis d'accord que dy/dt = p(y), mais comment dp/dy devient dp/dt?

Au fait, lsur la dernière ligne, est ce qu'il y a pas un c au dénominateur après intégration? ce qui donnerait

y = (-b/(2a))*t +/- (1/(12a²c)) * V(b² - 4a(c.t+C1))³ + C2

Merci

[Black Jack]

Quelques distractions, je recommence.

En dérivant :

2ay'y'' + by'' + cy' = 0

Poser dy/dt = p (avec p foncion de y)

d²y/dt² = dp/dt = dp/dy * dy/dt = p.dp/dy

L'équation devient:

2ap² dp/dy + bp.dp/dy + cp = 0

p(2ap dp/dy + b.dp/dy + c) = 0

et donc soit p = 0 et y = constante convient...

Soit : 2ap dp/dy + b.dp/dy + c = 0

2ap dp + b.dp = -c dy

On intègre :

ap² + bp = -c.y - C1

ap² + bp + c.y + C1 = 0

p = [-b +/- V(b² - 4a(c.y+C1))]/(2a)

dy/dt = [-b +/- V(b² - 4a(c.y+C1))]/(2a)

dy/dt = (-b/(2a)) +/- ((1/(2a)) * V(b² - 4a(c.y+C1)))

dy/[(-b/(2a)) +/- ((1/(2a)) * V(b² - 4a(c.y+C1)))] = dt

Les variables sont séparées, il reste à intégrer ... après avoir corrigé mes nouvelles distractions incluses.

:zen:

[hadas]

Merci à tous, je vous donnerai des réponses de la suite au plus tard en fin de semaine.

A bientôt

[JJa]

Bonjour,

je n'ai pas pris le temps de lire en détail les messages précédents. Il est donc possible que la méthode que je vais indiquer ait déjà été donnée sous une forme équivalente.
a(y'(t))²+by'(t)+cy(t) + cte =0.
Considère cette équation comme une équation dont l'inconnue est y'.
Tu écris les racines de cette équation qui est du second degré:
y' = (-b+racine(b²-4a(c.y+cte))/(2a)
On a donc y' = une fonction connue de y :
f(y) = (-b+racine(b²-4a(c.y+cte))/(2a)
et l'équation différentielle s'écrit : dy/dt = y' = f(y)
dy = f(y).dt
dt = dy/f(y)
Pour trouver t en fonction de y, on doit donc intégrer la fonction
1/f(y) = 2a/(-b+racine(b²-4a(c.y+cte))
ce qui est possible. Soit F(y) une primitive de cette fonction.
Le résultat est : t = F(y)+T
avec T une constante d'intégration.
Pour trouver explicitement y(t), il faudrait ensuite exprimer la fonction réciproque y(t), ce qui risque d'être la partie la plus problèmatique.