Complexe

[olivia83]

Soit f(z)= z / (z²+1)

determiner z tel que f(z) soit un réel..

faut il remplacer par x+iy?

[_-Gaara-_]

Salut,

il faut toujours commencer par sa première idée !

ensuite on cherche les astuces.. ;)

(enfin quand on révise c'est comme ça :D)

[olivia83]

oui mais j'arrive pas à grand chose malheureusement

[_-Gaara-_]

je te fais le début:

f(z) est un réel, donc sa partie imaginaire est nulle donc.. =)

pose z = x+iy

f(z)= x+iy / ((x+iy )²+1)

= x+iy / (x²+2iy -y² +1)

= multiplie en haut et en bas par le conjugué du truc en bas ^^

[olivia83]

au final je trouve z= 1 j'ai juste?

[_-Gaara-_]

lol je n'ai pas encore fait les calculs XD

[olivia83]

d'accord si tu le fais ou si quelqu'un d'autre sait, j'aimerai bien savoir :we:

[le_fabien]

au final je trouve z= 1 j'ai juste?

Bonjour ,
Tu peux remarquer que si tu remplaces z par 2 ou 3 ou encore une infinité de réels alors f(z) est réel.
Forcément tu n'as pas toutes les solution encore.
Donne tous les calculs que tu as fait et on verra.

[olivia83]

f(z)= x+iy / ((x+iy )²+1)

= x+iy / (x²+2iy -y² +1)

= (x+iy)(x²-y²+1-2iy) / ( x²-y²+1)² +4y²

je devellope et j'arrive à :

= x^3-x(1-y²)+2y²+i(y(-2x+x²-y²+1)) / le mm denominateur

la partie imaginaire doit etre egale à 0, j'ai donc:

y ((x-1)² - y² )=0

donc y=0 et x=1

[le_fabien]

Je n'ai pas vérifié les calculs mais si ils sont bons ta conclusion est mauvaise.
Tu as y=0 OU y=0 et x=1 , ce n'est pas le même chose.
A toi de conclure.

[olivia83]

z=x ou z=1 :hein: :hein:

[le_fabien]

z=x ou z=1 :hein: :hein:

Z réel suffira. :++:

[Ruch]

Méthode moins calculatoire: f(z) est réel ssi [f(z)](bar)= f(z)

On trouve par identification que z=z(bar), donc z est réél. C'est moins bourrin et plus rapide je trouve :marteau:

[olivia83]

d'accord merci

[_-Gaara-_]

Méthode moins calculatoire: f(z) est réel ssi [f(z)](bar)= f(z)

On trouve par identification que z=z(bar), donc z est réél. C'est moins bourrin et plus rapide je trouve :marteau:

L'astuce on la trouve après avoir trouvé la solution, ça fait gagner du temps pour une prochaine fois :++:

[Ruch]

Ce n'est pas une astuce, loin de là.

Généralement, pour montrer qu'un nombre complexe est réel (ou imaginaire), on a 2 méthodes: soit remplacer le nombre complexe par sa forme algébrique, soit utiliser le fait que z(bar)=z (ou z(bar)=-z), méthode certes plus rapide, mais qui ne marche pas vraiment toujours.

Et l'astuce, on la trouve aussi souvent avant la solution :we:

[Matthieu Lochot]

Soit f(z)= z / (z²+1)

determiner z tel que f(z) soit un réel..

faut il remplacer par x+iy?

Bonjour,

connais-tu une condition qui soit suffisante pour qu'un complexe z soit réel ?

[Flodelarab]

Partie imaginaire nulle :)