Les entiers rénovés

[Imod]

Un petit problème amusant :zen:

On considère un entier positif n que l'on veut rénover ( mettre à neuf :triste: ) . Pour cela on dispose de deux outils que l'on peut utiliser autant de fois que l'on veut :

1°) On multiplie le nombre par un entier quelconque .
2°) On supprime tous les zéro de l'écriture décimale du nombre .

Un exemple : Pour rénover 12

a) on multiplie 12 par 25 : 12X25=300
b) on supprime les zéro de 300 : 3
c) on multiplie 3 par 3 : 3X3=9

Et c'est fini , 12 est rénové :we:

Tout entier n peut-il être rénové ???

Bon courage !

Imod

[aviateurpilot]

j'ai pas compris ce que tu veux dire par "rénové"??

par exemple pour n quelconque:
a)
b) on supprime les 0 de 10n. et on trouve m=n sans zéro !!
c) 4m

là on peux dire que n est rénové??

[Zweig]

C'est-à-dire si à partir d'un entier n, on arrive à "9" à l'aide des deux opérations autorisées.

[Zweig]

En fait, montrer que est "rénovable" revient à montrer que pour tout de la forme il existe un entier (ou une suite d'opérations) tel que, pour un certain : .


En particulier, on doit donc avoir . Or, n'admet aucune solution, donc tous les nombres de la forme ne sont pas rénovables.

[Help]

Pour moi un nombre qui ne contient pas que des multiples de 2,3 ou 5 ne peut pas être rénové.

Je m'explique : si on a un facteur premier autre que 2, 3 ou 5, aucune des opérations décrites ne va le faire disparaître.
1) la multiplication certainement pas
2) supprimer des 0 revenant à diviser par 2 et 5 ne vas pas non plus le faire disparaitre.

Donc pour moi, seuls les nombres de la forme peuvent être rénovés (avec p<3)

[aviateurpilot]

[....]
2) supprimer des 0 revenant à diviser par 2 et 5 ne vas pas non plus le faire disparaitre.
[.....]

par exemple on peux passe de 101 à 11
mais là on a pas divisé par 2 ou 5 !!

[Help]

ça me semblait trop facile aussi...
l'exemple d'Imod m'avait induit en erreur (il ne supprimait que les 0 à droite...)

[Imod]

En effet mon exemple n'est pas heureux et comme le fait remarquer l'aviateur , tous les zéro passent à la trappe y compris ceux qui sont à "l'intérieur" .

Imod

[Help]

Histoire de faire avancer le schmilblick : En vérifiant rapidement, tous les nombres de 1 à 100 sont "rénovables".

Beaucoup sont très simples, il y en a de plus compliqué comme 43
43 x 24 = 1032 ce qui donne 132
132 x 5 = 660 ce qui donne 66
66 x 5 = 330 ce qui donne 33
33 x 31 = 1023 ce qui donne 123
123 x 9 = 1107 ce qui donne 117
117 x 6 = 702
72 x 5 = 360
36 x 3 = 108
18 x 5 = 90

ça ressemble un peu à la conjecture de Syracuse...

[Imod]

Un petit indice pour limiter le champ d'investigation : comment en quatre étapes ramener tout entier 1111...111 à un nombre de trois chiffres ( qui plus est , toujours le même ) ?

Imod

[nodgim]

Bonjour à tous :id:
Tout d'abord trouver, à partir de n'importe quel nombre N: 111111... n'est pas difficile, et toujours faisable: En posant la division 100.../N, on peut ajouter aux restes successifs 1 ou 0, pour finir la division ou l'empêcher de s'enliser dans une séquence. Comme les zéros seront éliminés, on obtiendra bien une suite de 1.
Ensuite voilà comment je procède:
Je multiplie par 9 et j'élève au carré: 9999..²=999..8000...1 qui donne 999..981 que je double:1999..62 .
Je multiple par 500..1 (1 zéro de moins que de 9) et j'obtiens le même nombre 1999..62 avec un 9 en moins.
Je continue jusqu'à éliminer les 9 et obtenir 162, que je multiplie par 617284, ce qui donne 100000008.

[Imod]

Ca semble tout bon nodgim :++:

On peut faire 9 dans tous les cas avec seulement 6 multiplications et peut-être mieux ...

Regarder par exemple ce qui se passe si on multiplie 111....111 par 19 , que l'on supprime le zéro superflu puis qu'on multiplie le résultat par 9 .

Imod

[nodgim]

Super! :id: