Les entiers rénovés
Olympiades mathématiques, énigmes et défis
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Imod
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par Imod » 25 Juil 2008, 14:32
Un petit problème amusant :zen:
On considère un entier positif n que l'on veut rénover ( mettre à neuf :triste: ) . Pour cela on dispose de deux outils que l'on peut utiliser autant de fois que l'on veut :
1°) On multiplie le nombre par un entier quelconque .
2°) On supprime tous les zéro de l'écriture décimale du nombre .
Un exemple : Pour rénover 12
a) on multiplie 12 par 25 : 12X25=300
b) on supprime les zéro de 300 : 3
c) on multiplie 3 par 3 : 3X3=9
Et c'est fini , 12 est rénové :we:
Tout entier n peut-il être rénové ???
Bon courage !
Imod
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aviateurpilot
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par aviateurpilot » 25 Juil 2008, 15:04
j'ai pas compris ce que tu veux dire par "rénové"??
par exemple pour n quelconque:
a)
b) on supprime les 0 de 10n. et on trouve m=n sans zéro !!
c) 4m
là on peux dire que n est rénové??
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Zweig
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par Zweig » 25 Juil 2008, 15:07
C'est-à-dire si à partir d'un entier n, on arrive à "9" à l'aide des deux opérations autorisées.
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Zweig
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par Zweig » 25 Juil 2008, 15:20
En fait, montrer que
est "rénovable" revient à montrer que pour tout
de la forme
il existe un entier
(ou une suite d'opérations) tel que, pour un certain
:
.
En particulier, on doit donc avoir
. Or,
n'admet aucune solution, donc tous les nombres de la forme
ne sont pas rénovables.
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Help
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par Help » 25 Juil 2008, 16:54
Pour moi un nombre qui ne contient pas que des multiples de 2,3 ou 5 ne peut pas être rénové.
Je m'explique : si on a un facteur premier autre que 2, 3 ou 5, aucune des opérations décrites ne va le faire disparaître.
1) la multiplication certainement pas
2) supprimer des 0 revenant à diviser par 2 et 5 ne vas pas non plus le faire disparaitre.
Donc pour moi, seuls les nombres de la forme
peuvent être rénovés (avec p<3)
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aviateurpilot
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par aviateurpilot » 25 Juil 2008, 17:08
Help a écrit:[....]
2) supprimer des 0 revenant à diviser par 2 et 5 ne vas pas non plus le faire disparaitre.
[.....]
par exemple on peux passe de 101 à 11
mais là on a pas divisé par 2 ou 5 !!
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Help
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par Help » 25 Juil 2008, 17:17
ça me semblait trop facile aussi...
l'exemple d'Imod m'avait induit en erreur (il ne supprimait que les 0 à droite...)
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Imod
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par Imod » 25 Juil 2008, 17:35
En effet mon exemple n'est pas heureux et comme le fait remarquer l'aviateur , tous les zéro passent à la trappe y compris ceux qui sont à "l'intérieur" .
Imod
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Help
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par Help » 25 Juil 2008, 18:32
Histoire de faire avancer le schmilblick : En vérifiant rapidement, tous les nombres de 1 à 100 sont "rénovables".
Beaucoup sont très simples, il y en a de plus compliqué comme 43
43 x 24 = 1032 ce qui donne 132
132 x 5 = 660 ce qui donne 66
66 x 5 = 330 ce qui donne 33
33 x 31 = 1023 ce qui donne 123
123 x 9 = 1107 ce qui donne 117
117 x 6 = 702
72 x 5 = 360
36 x 3 = 108
18 x 5 = 90
ça ressemble un peu à la conjecture de Syracuse...
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Imod
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par Imod » 26 Juil 2008, 00:32
Un petit indice pour limiter le champ d'investigation : comment en quatre étapes ramener tout entier 1111...111 à un nombre de trois chiffres ( qui plus est , toujours le même ) ?
Imod
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nodgim
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par nodgim » 27 Juil 2008, 08:32
Bonjour à tous :id:
Tout d'abord trouver, à partir de n'importe quel nombre N: 111111... n'est pas difficile, et toujours faisable: En posant la division 100.../N, on peut ajouter aux restes successifs 1 ou 0, pour finir la division ou l'empêcher de s'enliser dans une séquence. Comme les zéros seront éliminés, on obtiendra bien une suite de 1.
Ensuite voilà comment je procède:
Je multiplie par 9 et j'élève au carré: 9999..²=999..8000...1 qui donne 999..981 que je double:1999..62 .
Je multiple par 500..1 (1 zéro de moins que de 9) et j'obtiens le même nombre 1999..62 avec un 9 en moins.
Je continue jusqu'à éliminer les 9 et obtenir 162, que je multiplie par 617284, ce qui donne 100000008.
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Imod
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par Imod » 27 Juil 2008, 11:55
Ca semble tout bon nodgim :++:
On peut faire 9 dans tous les cas avec seulement 6 multiplications et peut-être mieux ...
Regarder par exemple ce qui se passe si on multiplie 111....111 par 19 , que l'on supprime le zéro superflu puis qu'on multiplie le résultat par 9 .
Imod
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nodgim
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par nodgim » 27 Juil 2008, 12:01
Super! :id:
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