Approximation en 1/n
Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
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kazeriahm
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par kazeriahm » 10 Juil 2008, 21:44
Salut à tous,
un résultat pas compliqué mais très joli et aux conséquences intéressantes :
montrer que pour tout réel x, il existe une suite
d'élements de {-1,1} telle que
on pourrait ajouter : en déduire que R n'est pas dénombrable
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Clembou
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par Clembou » 10 Juil 2008, 22:24
kazeriahm a écrit:Salut à tous,
un résultat pas compliqué mais très joli et aux conséquences intéressantes :
montrer que pour tout réel x, il existe une suite
d'élements de {-1,1} telle que
on pourrait ajouter : en déduire que R n'est pas dénombrable
Comment montrer que
ou
est en fait la série suivante :
avec
:briques:
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skilveg
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par skilveg » 10 Juil 2008, 23:16
On peut voir ça comme un cas particulier du théorème de Riemann sur les séries semi-convergentes!
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aviateurpilot
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par aviateurpilot » 11 Juil 2008, 00:16
on peux supposer que
( pour x<0 on travaill avec -x)
soit la suite
tel que:
soit
j'ai montrer que dans ce cas
si je n'ai pas fait d'erreur mon raisonnement montre aussi que si
une suite tel que
et
comme le cas de
alors il exists
tel que
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kazeriahm
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par kazeriahm » 11 Juil 2008, 02:25
oui on est d'accord aviateurpilot c'est tout simple comme résultat en fait mais assez surprenant je trouve
si je note
, est-ce que l'application qui va de F dans R* et qui à
associe
est bijective ?
elle est clairement surjective mais l'injectivité ne me semble pas évidente...
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Pouick
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par Pouick » 11 Juil 2008, 09:18
le truc, c'est que, comme la série en 1/n diverge, tu peux donc par la méthode dit par aviateurpilot , arreter le processus à un endroit donc genre :
< x
puis aulieu d'ajouter
, juste une fois tu ajoutes -1 .
Puis tu reprends le processus . Au final, tu vas retomber sur x , mais pas avec la même suite... non ?
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leon1789
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par leon1789 » 11 Juil 2008, 10:20
kazeriahm a écrit:oui on est d'accord aviateurpilot c'est tout simple comme résultat en fait mais assez surprenant je trouve
si je note
, est-ce que l'application qui va de F dans R* et qui à
associe
est bijective ?
elle est clairement surjective mais l'injectivité ne me semble pas évidente...
La fonction n'est pas injective.
En posant e_0 = -1, on arrive encore à toucher n'importe quel
car
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leon1789
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par leon1789 » 11 Juil 2008, 10:21
Pouick a écrit:le truc (...) Au final, tu vas retomber sur x , mais pas avec la même suite... non ?
on est d'accord :we:
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aviateurpilot
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par aviateurpilot » 11 Juil 2008, 21:10
mon raisonnement montre aussi une generalisation si je n'ai pas fait d'erreur
Si
une suite tel que
et
comme le cas particulier de
.
et si
bornée tel que
comme le cas particulier de {-1,1}
alors pour tt
elle existe une INFINITé de suites
tel que
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miikou
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par miikou » 12 Juil 2008, 02:12
si
alors
alors
de tel sorte on divise en 2 sous suites Un, lune decroissante minore par x, la seconde croisant majorer par x, la limite vaut x
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