Bonjour tout le monde.
Ça fait pas mal de temps que je tente de briser une démo de la conjecture de Goldbach (version faible de la conjecture c'est à dire "tout entier supérieur ou égale à 6 peut s'écrire comme une somme de 3 entiers premiers").
j'utilise un raisonnement par récurrence et le nombre de décomposition d'un entier x en somme de m premiers.
c'est un peut à la sauvage mais je vous colle le code latex de la demo si vous êtes intéressé. :langue2:
Bonne lecture
Preuve [1/3] : définitions
[TEX]
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\lfoot{Conjecture de Goldbach}
\begin{document}
\begin{center}
Conjecture de Goldbach
\bigskip
\bigskip
\end{center}
\section{D\'{e}finitions \label{sect1}}
\begin{definition}
On note $S$ la relation sur $\left( \mathbb{N-}\left\{ 1\right\} \right)
\times \mathbb{N}$ d\'{e}finie comme suit:%
\begin{eqnarray*}
\left( x,m\right) &\in &S\text{ si et seulement si} \\
&&\left(
\begin{array}{c}
\text{Il existe un ensemble d'entiers premiers }\left\{
p_{1},..,p_{m}\right\} \text{ de cardinal }m\text{,} \\
\text{tel que }x=\sum_{i=1}^{m}p_{i}%
\end{array}%
\right) \text{.}
\end{eqnarray*}
$\left( x,m\right) \in S$ signifie donc que $x$ peut s'\'{e}crire comme une
somme de $m$ entier(s) premier(s).
\end{definition}
\begin{remark}
La n\'{e}cessit\'{e} d'exclure $x=1$ est directement li\'{e}e \`{a} la d\'{e}%
finition de $S$. Si l'on n'excluait pas $1$ alors $(x,m)\in S$ signifierait
que x peut s'\'{e}crire comme une somme contenant $m$ entier(s) premier(s).
\end{remark}
\begin{proposition}
La d\'{e}finition de la relation $S$ a les cons\'{e}quences suivantes:
\begin{enumerate}
\item Si $\left( x,0\right) \in S$ alors $x=0$; si $\left( x,1\right) \in S$
alors $x$ est premier.
\item En g\'{e}n\'{e}ral, la relation $S$ n'est pas\ fonctionnelle.\
\item Pour tout $x$ de $\mathbb{N-}\left\{ 1\right\} $, il existe $m$ de $%
\mathbb{N}$ tel que $\left( x,m\right) \in S$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
Elles sont \'{e}l\'{e}mentaires
\begin{enumerate}
\item Evident vu les notations.
\item En effet:%
\begin{equation*}
6=2+2+2\quad \text{donc }\left( 6,3\right) \in S\text{;\quad }6=3+3\quad
\text{donc }\left( 6,2\right) \in S\text{\quad mais }2\neq 3\text{.}
\end{equation*}
\item On distingue les cas $x$ pair et impair: on d\'{e}compose alors $x$
comme somme de termes \'{e}gaux \`{a} $2$, ou comme somme de $3$ et d'un
pair.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{proposition}
\begin{definition}
Consid\'{e}rons deux relations $R$ sur $F\times G$ et $T$ sur $H\times J$.
Soit $x\in F$ et $y\in H$.
On dit que $R(x)$ peut \^{e}tre \'{e}gale \`{a} $T(y)$ si et seulement si il
existe $x\in F,$ $y\in H$ et $m\in G\cap J$ (\'{e}videmment $G\cap J\neq
\emptyset $) tel que $(x,m)\in R$ et $(y,m)\in T$, on notera alors $R(x)%
\overset{\hat{e}}{=}T(y)$.\newline
On dira alors que $R(x)$ peut \^{e}tre \'{e}gale \`{a} $T(x)$. De la m\^{e}%
me mani\`{e}re, on \'{e}crira pour une relation $R$ que $R(x)\overset{\hat{e}%
}{=}n\Leftrightarrow (x,n)\in R$. On dira alors que $R(x)$ peut \^{e}tre
\'{e}gale \`{a} $n$.
\end{definition}
\begin{proposition}
\textit{Propri\'{e}t\'{e}s de }$\overset{\hat{e}}{=}$
\begin{enumerate}
\item $\overset{\hat{e}}{=}$ est r\'{e}flexive.
\item $\overset{\hat{e}}{=}$ est sym\'{e}trique.
\item En g\'{e}n\'{e}ral, $\overset{\hat{e}}{=}$ n'est pas transitive.
\end{enumerate}
\begin{proof}
Non d\'{e}taill\'{e}es en totalit\'{e}
\begin{enumerate}
\item Evidente.
\item Evidente par preuve formelle directe si on veut, mais surtout en
raison m\^{e}me de l'\'{e}criture de la d\'{e}finition de $\overset{\hat{e}}{%
=}$.
\item On consid\`{e}re $P=\left\{ \left( 0,1\right) ,\left( 0,2\right)
\right\} $, $Q=\left\{ \left( 4,2\right) ,\left( 4,3\right) \right\} $ et $%
R=\left\{ \left( 7,3\right) ,\left( 7,4\right) \right\} $ alors%
\begin{equation*}
\left( P(0)\overset{\hat{e}}{=}Q(4)\text{ et }Q(4)\overset{\hat{e}}{=}%
R(7)\right) \text{\quad }\nRightarrow \left( P(0)\overset{\hat{e}}{=}%
R(7)\right) \text{.}
\end{equation*}
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{proposition}
\begin{remark}
$R(x)\overset{\hat{e}}{=}n$ traduit le fait que $n$ fait partie\ de
l'ensemble des ''valeurs prises'' par la relation $R$ en $x$, c'est \`{a}
dire $(x,n)\in R$. $\overset{\hat{e}}{=}$ ''peut \^{e}tre compris'' comme
une g\'{e}n\'{e}ralisation de l'\'{e}galit\'{e} ($=$) pour des ''objets math%
\'{e}matiques'' prenant plusieurs valeurs. Dans le cas d'ensemble de valeurs
prises r\'{e}duit \`{a} un singleton, la relation $\overset{\hat{e}}{=}$ prend la forme particuli\`ere $=$.
\end{remark}
\begin{corollary}
Sous les notations pr\'{e}c\'{e}dentes%
\begin{equation*}
\left( P(x)\overset{\hat{e}}{=}k\text{ et }Q(y)\overset{\hat{e}}{=}k\right)
\text{\quad }\Rightarrow \quad \left( P(x)\overset{\hat{e}}{=}Q(y)\right)
\text{.}
\end{equation*}
\begin{proof}
Direct \`{a} partir de la d\'{e}finition.
\end{proof}
\end{corollary}
\subsection{Compl\'{e}ments}
Le contraire de $\overset{\hat{e}}{=}$ est $\neq $. Consid\'{e}rons deux
relations $R$ sur $F\times G$ et $T$ sur $H\times J$. Soit $x\in F$ et $y\in
H$. Alors $R(x)$ est ''strictement diff\'{e}rent'', ou diff\'{e}rent, de $%
T(y)$ si et seulement si n'il existe aucun $m\in G\cap J$ tel que $(x,m)\in
R $ et $(y,m)\in T$, on notera alors $R(x)\neq T(y)$. On notera $R(x)\neq
T(y)$. Evidemment, si $G\cap J=\emptyset $, alors $R(x)$ est diff\'{e}rent
de $T(y)$.
On d\'{e}finit \'{e}galement les notations suivantes $\overset{\hat{e}}{\leq
}$, $\overset{\hat{e}}{<}$, $\overset{\hat{e}}{\geq }$, $\overset{\hat{e}}{>}
$ respectivement ''peut \^{e}tre inf\'{e}rieur ou \'{e}gal'', ''peut \^{e}%
tre strictement inf\'{e}rieur'',\thinspace\ ''peut \^{e}tre sup\'{e}rieur ou
\'{e}gal'', ''peut \^{e}tre strictement sup\'{e}rieur'' ainsi que leurs n%
\'{e}gations r\'{e}pectives $>$, $\geq $, $<$, $\leq $.
$R(x)$ $\overset{\hat{e}}{\leq }T(y)$ signifie qu'il existe $n$ et $m$ tel
que $R(x)\overset{\hat{e}}{=}n$, $T(y)\overset{\hat{e}}{=}m$ et $n\leq m$.
Cette \'{e}criture peut \'{e}galement s'employer ainsi : $R(x)\overset{%
\hat{e}}{\leq }m$ signifie qu'il existe $n$ tel que $R(x)\overset{\hat{e}}{=}%
n$ et $n\leq m$. Le contraire de $R(x)$ $\overset{\hat{e}}{\leq }T(y)$ est $%
R(x)>T(y)$ et signifie qu'il n'existe aucun $n$ et $m$ tel que $R(x)\overset{%
\hat{e}}{=}n$, $T(y)\overset{\hat{e}}{=}m$ et $n\leq m$. De la m\^{e}me mani%
\`{e}re, $R(x)>m$ signifie qu'il n'existe aucun $n$ tel que $R(x)\overset{%
\hat{e}}{=}n$ et $n\leq m$, c'est \`{a} dire que quelque soit $n$ tel que $%
R(x)\overset{\hat{e}}{=}n$, $n>m$.
Les d\'{e}finitions des autres op\'{e}rateurs pr\'{e}c\'{e}demment cit\'{e}s
''suivent la m\^{e}me logique''.
[TEX]
Une preuve de la conjecture de goldbach ?
6 messages
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Preuve [2/3] : les propriétés de la relation S
par mamane.com » 11 Juil 2008, 04:05
voici la 2e partie du code concernant les propriétés de la relation S
[TEX]
\section{Propri\'et\'es de la relation S}
\bigskip
\begin{proposition}
Soit $x$ un \'{e}l\'{e}ment de $\mathbb{N-}\left\{ 1\right\} $ et $S$ la
relation d\'{e}finie en section.
Si $x$ est sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} $5$, alors le cardinal $\left|
\left\{ m\in \mathbb{N\quad }/\quad \left( x,m\right) \in S\right\} \right| $
est strictement sup\'{e}rieur \`{a} $1$, c'est \`{a} dire $S(x)$ peut
prendre plusieurs valeurs si $x\geq 5$.
\begin{proof}
On fait une preuve par r\'{e}currence. D\'{e}montrons que la propri\'{e}t%
\'{e} $\mathcal{P}\left( k\right) $ suivante est vraie pour tout $k$ entier
sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} $5$:%
\begin{equation*}
\mathcal{P}\left( k\right) :\quad \forall j\in \mathbb{N\quad }\left( \text{
}5\leq j\leq k\Rightarrow \left| \left\{ m\in \mathbb{N\quad }/\quad \left(
j,m\right) \in S\right\} \right| >1\text{ }\right) \text{.}
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Base $k=5$
On sait que $\left( 5,1\right) $ est \'{e}l\'{e}ment de $S$ puisque $5$ est
premier donc $S(5)\overset{\hat{e}}{=}1$ ; par ailleurs $S(5)\overset{\hat{e}%
}{=}2$ puisque $5=2+3$ . D'o\`{u} le r\'{e}sultat.
\item Pas de r\'{e}currence
Supposons $\mathcal{P}\left( k\right) $ vraie. Consid\'{e}rons l'ensemble $%
\left\{ m\in \mathbb{N\quad }/\quad \left( k+1,m\right) \in S\right\} $.
\begin{itemize}
\item Si $k+1=6$, alors $\left\{ m\in \mathbb{N\quad }/\quad \left(
k+1,m\right) \in S\right\} =\left\{ 2,3\right\} $ puisque $6=3+3$ et $%
6=2+2+2 $, d'o\`{u} $\mathcal{P}\left( k+1\right) $.
\item Si $k+1>6$, alors $k-1\geq 5$.
Vu l'hypoth\`{e}se $\mathcal{P}\left( k\right) $, on sait que $k-1$ peut s'%
\'{e}crire sous forme d'au moins deux sommes de nombres premiers.\ Par suite%
\begin{equation*}
S(k-1)\overset{\hat{e}}{=}n_{1}\text{\quad et\quad }S(k-1)\overset{\hat{e}}{=%
}n_{2}\text{ avec }n_{1}\neq n_{2}\text{.}
\end{equation*}%
En ajoutant le nombre premier $2$ \`{a} chacune il vient:%
\begin{equation*}
S(\left( k-1\right) +2)\overset{\hat{e}}{=}n_{1}+1\text{\quad et\quad }%
S(\left( k-1\right) +2)\overset{\hat{e}}{=}n_{2}+1\text{ avec }n_{1}+1\neq
n_{2}+1\text{.}
\end{equation*}%
ce qui prouve $\mathcal{P}\left( k+1\right) $.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{remark}
Il faut noter que la relation $S$ est fonctionnelle pour les valeurs $0$, $2$%
, $3$ et $4$. On a alors $S(0)=0$, $S(2)=1$, $S(3)=1$ et $S(4)=2$. On
remarquera que le fait que $S$ soit fonctionnelle pour ces valeurs explique
que symbole $\overset{\hat{e}}{=}$ \ peut ''se simplifier'' en $=$.
\end{remark}
\end{proposition}
\begin{proposition}
\textit{Lin\'{e}arit\'{e} de }$S$
Soit $x_{1}$ et $x_{2}$ \ deux \'{e}l\'{e}ments de $\mathbb{N-}\left\{
1\right\} $; il existe des entiers naturels $n_{1}$ et $n_{2}$ tels que $%
S\left( x_{1}\right) \overset{\hat{e}}{=}n_{1}$ et $S\left( x_{2}\right)
\overset{\hat{e}}{=}n_{2}$.
Alors pour tout $\lambda $ de $\mathbb{N}$, on peut \'{e}crire :
\begin{eqnarray*}
&&S\left( x_{1}+\lambda x_{2}\right) \overset{\hat{e}}{=}n_{1}+\lambda n_{2}%
\text{.} \\
&\Rightarrow &S(x_{1}+\lambda x_{2})\overset{\hat{e}}{=}S(x_{1})+\lambda
S(x_{2})
\end{eqnarray*}
\begin{proof}
Vu les notations choisies, on peut \'{e}crire:%
\begin{equation*}
x_{1}=\sum_{i=1}^{n_{1}}p_{i}\text{\quad et\quad }x_{2}=%
\sum_{j=1}^{n_{2}}q_{j}\text{\quad avec les }p_{i}\text{ et }q_{j}\text{
premiers.}
\end{equation*}
Mais alors%
\begin{equation*}
x_{1}+\lambda x_{2}=\sum_{i=1}^{n_{1}}p_{i}+\underset{\lambda \text{ fois}}{%
\underbrace{\sum_{j=1}^{n_{2}}q_{j}+...+\sum_{j=1}^{n_{2}}q_{j}}}\text{,}
\end{equation*}
d'o\`{u} le r\'{e}sultat. La derni\`{e}re implication d\'{e}coule
directement de la d\'{e}finition de $\overset{\hat{e}}{=}$.
\end{proof}
\end{proposition}
\begin{proposition}
Soit $x$ de $\mathbb{N-}\left\{ 1\right\} $ et $m$ de $\mathbb{N}$ \ tels que%
\begin{equation*}
\left( x,m\right) \in S\text{\quad c'est-\`{a}-dire\quad }S(x)\overset{%
\hat{e}}{=}m\text{;}
\end{equation*}
alors
\begin{equation*}
x\geq 2m.
\end{equation*}
\begin{proof}
$x$ peut s'\'{e}crire comme une somme de $m$ nombres premiers sup\'{e}rieurs
ou \'{e}gaux \`{a} $2$, d'o\`{u} le r\'{e}sultat.
\end{proof}
\end{proposition}
\begin{proposition}
Soit $x$ de $\mathbb{N-}\left\{ 1\right\} $.\ Il existe alors $k$ de $%
\mathbb{N}$ \ tel qu'on puisse \'{e}crire :%
\begin{equation*}
x=2k+\varepsilon \text{\quad avec }\left( \varepsilon =0\text{ si }x\text{
est pair, }\varepsilon =1\text{ si }x\text{ est impair}\right) \text{.}
\end{equation*}
Alors
\begin{itemize}
\item pour tout entier $m$ v\'{e}rifiant $\left( x,m\right) \in S$, on a
:\quad $m\leq k$;
\item de plus%
\begin{equation*}
S(x)\overset{\hat{e}}{=}k\text{.}
\end{equation*}
\end{itemize}
\begin{proof}
\begin{itemize}
\item Vu que $2$ et $3$ sont les plus petits premiers, les sommes les ''plus
longues'' pour exprimer l'entier $x$ seront une somme de $2$ si $x$ est
pair, une somme de $2$ compl\'{e}t\'{e}e d'un $3$ si $x$ est impair; donc
pour tout $m$ v\'{e}rifiant $\left( x,m\right) \in S$, on a $m\leq k$.
\item Montrons que $x$ peut s'\'{e}crire comme une somme de $k$ nombres
premiers.
\begin{itemize}
\item Si $x=0$, alors $k=0$ et $S(x)\overset{\hat{e}}{=}0$.
\item Sinon, \'{e}crivons $x=\left( \varepsilon +2\right) +2(k-1)$, sachant $%
k\geq 1$. Or $\varepsilon +2$ ne peut s'\'{e}crire que sous forme d'une
seule somme de nombres premiers, r\'{e}duite \`{a} un terme; par suite $%
\left( \varepsilon +2,1\right) \in S$.
Par ailleurs, $\left( 2,1\right) \in S$.
On utilise alors la proposition de linearit\'e.\ Il vient%
\begin{eqnarray*}
S\left( x\right) &=&S\left( \underset{x_{1}}{\underbrace{\left( \varepsilon
+2\right) }}+\underset{\lambda }{\underbrace{\left( k-1\right) }}\underset{%
x_{2}}{.\underbrace{\left( 2\right) }}\right) \overset{\hat{e}}{=}1+\left(
k-1\right) .1\text{,} \\
\text{c'est-\`{a}-dire } &\text{:}&S\left( x\right) \overset{\hat{e}}{=}k%
\text{.}
\end{eqnarray*}
ce qu'il fallait d\'{e}montrer.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{proof}
\end{proposition}
[TEX]
[TEX]
\section{Propri\'et\'es de la relation S}
\bigskip
\begin{proposition}
Soit $x$ un \'{e}l\'{e}ment de $\mathbb{N-}\left\{ 1\right\} $ et $S$ la
relation d\'{e}finie en section.
Si $x$ est sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} $5$, alors le cardinal $\left|
\left\{ m\in \mathbb{N\quad }/\quad \left( x,m\right) \in S\right\} \right| $
est strictement sup\'{e}rieur \`{a} $1$, c'est \`{a} dire $S(x)$ peut
prendre plusieurs valeurs si $x\geq 5$.
\begin{proof}
On fait une preuve par r\'{e}currence. D\'{e}montrons que la propri\'{e}t%
\'{e} $\mathcal{P}\left( k\right) $ suivante est vraie pour tout $k$ entier
sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} $5$:%
\begin{equation*}
\mathcal{P}\left( k\right) :\quad \forall j\in \mathbb{N\quad }\left( \text{
}5\leq j\leq k\Rightarrow \left| \left\{ m\in \mathbb{N\quad }/\quad \left(
j,m\right) \in S\right\} \right| >1\text{ }\right) \text{.}
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Base $k=5$
On sait que $\left( 5,1\right) $ est \'{e}l\'{e}ment de $S$ puisque $5$ est
premier donc $S(5)\overset{\hat{e}}{=}1$ ; par ailleurs $S(5)\overset{\hat{e}%
}{=}2$ puisque $5=2+3$ . D'o\`{u} le r\'{e}sultat.
\item Pas de r\'{e}currence
Supposons $\mathcal{P}\left( k\right) $ vraie. Consid\'{e}rons l'ensemble $%
\left\{ m\in \mathbb{N\quad }/\quad \left( k+1,m\right) \in S\right\} $.
\begin{itemize}
\item Si $k+1=6$, alors $\left\{ m\in \mathbb{N\quad }/\quad \left(
k+1,m\right) \in S\right\} =\left\{ 2,3\right\} $ puisque $6=3+3$ et $%
6=2+2+2 $, d'o\`{u} $\mathcal{P}\left( k+1\right) $.
\item Si $k+1>6$, alors $k-1\geq 5$.
Vu l'hypoth\`{e}se $\mathcal{P}\left( k\right) $, on sait que $k-1$ peut s'%
\'{e}crire sous forme d'au moins deux sommes de nombres premiers.\ Par suite%
\begin{equation*}
S(k-1)\overset{\hat{e}}{=}n_{1}\text{\quad et\quad }S(k-1)\overset{\hat{e}}{=%
}n_{2}\text{ avec }n_{1}\neq n_{2}\text{.}
\end{equation*}%
En ajoutant le nombre premier $2$ \`{a} chacune il vient:%
\begin{equation*}
S(\left( k-1\right) +2)\overset{\hat{e}}{=}n_{1}+1\text{\quad et\quad }%
S(\left( k-1\right) +2)\overset{\hat{e}}{=}n_{2}+1\text{ avec }n_{1}+1\neq
n_{2}+1\text{.}
\end{equation*}%
ce qui prouve $\mathcal{P}\left( k+1\right) $.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{remark}
Il faut noter que la relation $S$ est fonctionnelle pour les valeurs $0$, $2$%
, $3$ et $4$. On a alors $S(0)=0$, $S(2)=1$, $S(3)=1$ et $S(4)=2$. On
remarquera que le fait que $S$ soit fonctionnelle pour ces valeurs explique
que symbole $\overset{\hat{e}}{=}$ \ peut ''se simplifier'' en $=$.
\end{remark}
\end{proposition}
\begin{proposition}
\textit{Lin\'{e}arit\'{e} de }$S$
Soit $x_{1}$ et $x_{2}$ \ deux \'{e}l\'{e}ments de $\mathbb{N-}\left\{
1\right\} $; il existe des entiers naturels $n_{1}$ et $n_{2}$ tels que $%
S\left( x_{1}\right) \overset{\hat{e}}{=}n_{1}$ et $S\left( x_{2}\right)
\overset{\hat{e}}{=}n_{2}$.
Alors pour tout $\lambda $ de $\mathbb{N}$, on peut \'{e}crire :
\begin{eqnarray*}
&&S\left( x_{1}+\lambda x_{2}\right) \overset{\hat{e}}{=}n_{1}+\lambda n_{2}%
\text{.} \\
&\Rightarrow &S(x_{1}+\lambda x_{2})\overset{\hat{e}}{=}S(x_{1})+\lambda
S(x_{2})
\end{eqnarray*}
\begin{proof}
Vu les notations choisies, on peut \'{e}crire:%
\begin{equation*}
x_{1}=\sum_{i=1}^{n_{1}}p_{i}\text{\quad et\quad }x_{2}=%
\sum_{j=1}^{n_{2}}q_{j}\text{\quad avec les }p_{i}\text{ et }q_{j}\text{
premiers.}
\end{equation*}
Mais alors%
\begin{equation*}
x_{1}+\lambda x_{2}=\sum_{i=1}^{n_{1}}p_{i}+\underset{\lambda \text{ fois}}{%
\underbrace{\sum_{j=1}^{n_{2}}q_{j}+...+\sum_{j=1}^{n_{2}}q_{j}}}\text{,}
\end{equation*}
d'o\`{u} le r\'{e}sultat. La derni\`{e}re implication d\'{e}coule
directement de la d\'{e}finition de $\overset{\hat{e}}{=}$.
\end{proof}
\end{proposition}
\begin{proposition}
Soit $x$ de $\mathbb{N-}\left\{ 1\right\} $ et $m$ de $\mathbb{N}$ \ tels que%
\begin{equation*}
\left( x,m\right) \in S\text{\quad c'est-\`{a}-dire\quad }S(x)\overset{%
\hat{e}}{=}m\text{;}
\end{equation*}
alors
\begin{equation*}
x\geq 2m.
\end{equation*}
\begin{proof}
$x$ peut s'\'{e}crire comme une somme de $m$ nombres premiers sup\'{e}rieurs
ou \'{e}gaux \`{a} $2$, d'o\`{u} le r\'{e}sultat.
\end{proof}
\end{proposition}
\begin{proposition}
Soit $x$ de $\mathbb{N-}\left\{ 1\right\} $.\ Il existe alors $k$ de $%
\mathbb{N}$ \ tel qu'on puisse \'{e}crire :%
\begin{equation*}
x=2k+\varepsilon \text{\quad avec }\left( \varepsilon =0\text{ si }x\text{
est pair, }\varepsilon =1\text{ si }x\text{ est impair}\right) \text{.}
\end{equation*}
Alors
\begin{itemize}
\item pour tout entier $m$ v\'{e}rifiant $\left( x,m\right) \in S$, on a
:\quad $m\leq k$;
\item de plus%
\begin{equation*}
S(x)\overset{\hat{e}}{=}k\text{.}
\end{equation*}
\end{itemize}
\begin{proof}
\begin{itemize}
\item Vu que $2$ et $3$ sont les plus petits premiers, les sommes les ''plus
longues'' pour exprimer l'entier $x$ seront une somme de $2$ si $x$ est
pair, une somme de $2$ compl\'{e}t\'{e}e d'un $3$ si $x$ est impair; donc
pour tout $m$ v\'{e}rifiant $\left( x,m\right) \in S$, on a $m\leq k$.
\item Montrons que $x$ peut s'\'{e}crire comme une somme de $k$ nombres
premiers.
\begin{itemize}
\item Si $x=0$, alors $k=0$ et $S(x)\overset{\hat{e}}{=}0$.
\item Sinon, \'{e}crivons $x=\left( \varepsilon +2\right) +2(k-1)$, sachant $%
k\geq 1$. Or $\varepsilon +2$ ne peut s'\'{e}crire que sous forme d'une
seule somme de nombres premiers, r\'{e}duite \`{a} un terme; par suite $%
\left( \varepsilon +2,1\right) \in S$.
Par ailleurs, $\left( 2,1\right) \in S$.
On utilise alors la proposition de linearit\'e.\ Il vient%
\begin{eqnarray*}
S\left( x\right) &=&S\left( \underset{x_{1}}{\underbrace{\left( \varepsilon
+2\right) }}+\underset{\lambda }{\underbrace{\left( k-1\right) }}\underset{%
x_{2}}{.\underbrace{\left( 2\right) }}\right) \overset{\hat{e}}{=}1+\left(
k-1\right) .1\text{,} \\
\text{c'est-\`{a}-dire } &\text{:}&S\left( x\right) \overset{\hat{e}}{=}k%
\text{.}
\end{eqnarray*}
ce qu'il fallait d\'{e}montrer.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{proof}
\end{proposition}
[TEX]
preuve [3/3] : la récurrence
par mamane.com » 11 Juil 2008, 04:08
voici la 3e est dernière partie, celle de la récurrence.
[TEX]
\section{Preuve via la r\'{e}currence}
\bigskip
\begin{remark}
La conjecture de Goldbach est v\'{e}rifi\'{e}e jusqu'\`{a} de grandes
valeurs. Supposons qu'elle soit v\'{e}rifi\'{e}e jusqu'au rang $x-1$, c'est
\`{a} dire que tout les entiers naturels compris entre 6 et $x-1$ peuvent s'%
\'{e}crire comme une somme de 3 entiers premiers.\newline
\newline
Montrons alors que la conjecture de Goldbach peut \^{e}tre v\'{e}rifi\'{e}e
alors pour le rang $x$. Pour cela \'{e}tudions les propri\'{e}tes de $S$
\end{remark}
\begin{proposition}
Soit $x$ de $\mathbb{N-}\left\{ 1\right\} $ , et $m$ un \'{e}l\'{e}ment de $%
\mathbb{N}$ sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} $4$, tel que $\left( x,m\right)
\in S$. Soit $p$ un entier naturel premier tel que :
Alors si $x-p\geq 2(m-1)$ et $x-p-4\geq 18$, on peut \'{e}crire que%
\begin{eqnarray*}
\left( x-p,m-1\right) &\in &S \\
\text{c'est-\`{a}-dire } &\text{:}&S\left( x-p\right) \overset{\hat{e}}{=}m-1
\end{eqnarray*}
\begin{proof}
Remarquons avant toute chose que la condition $x-p\geq 2(m-1)$ est
directement li\'{e}e \`{a} la proposition relative \`{a} la valeur minimale
de $x$. En effet pour que $S(x-p)$ aie une chance de pouvoir \^{e}tre \'{e}%
gale \`{a} $m-1$, il faut donc imp\'{e}rativement que $x-p\geq 2(m-1)$.%
\newline
\newline
Montrons maintenant que si $x-p\geq 2(m-1)$, alors $\left( x-p,m-1\right)
\in S$ c'est-\`{a}-dire : $S\left( x-p\right) \overset{\hat{e}}{=}m-1$. Il
nous faut donc montrer que $x-p$ peut s'\'{e}crire comme une somme de $m-1$
entiers premiers. Trois cas sont alors possibles : soit $m-1\equiv 0$ $[3]$,
soit $m-1\equiv 1$ $[3]$, soit $m-1\equiv 2$ $[3]$,$\newline
$\newline
\begin{enumerate}
\item Si $m-1$ $\equiv 0$ $[3]$, alors il existe un entier $n$ tel que $%
m-1=3n$.$\newline
$ On a suppos\'{e} que $x-p\geq 2(m-1)$, sachant $m-1=3n$, il est \'{e}%
vident que $x-p\geq 2\times 3n\Rightarrow x-p\geq 6n$, d'apr\`{e}s cette
\'{e}criture, il est \'{e}vident que $x-p$ puisse s'\'{e}crire comme une
somme de $n$ entiers sup\'{e}rieurs ou \'{e}gaux \`{a} $6$.\newline
\newline
$\Rightarrow x-p=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}x_{i}$ avec $\underset{%
1\leq i\leq n}{x_{i}\geq 6}$. D'autre part, il est \'{e}vident que les $x_{i}
$ sont inf\'{e}rieur \`{a} $x$. Or, notre hypoth\`{e}se de r\'{e}currence
est que tout les entiers naturels de 6 \`{a} $x-1$ peuvent s'\'{e}crire
comme une somme de 3 premiers (conjecture de Goldbach), donc les $x_{i}$
peuvent s'\'{e}crire comme une somme de 3 premiers. Or \ $x-p=\underset{i=1}{%
\overset{n}{\sum }}x_{i}$, donc $x-p$ peut s'\'{e}crire comme une somme de $%
3n$ premiers. Comme $m-1=3n$, on peut par cons\'{e}quent affirmer que $x-p$
peut s'\'{e}crire comme une somme de $m-1$ premiers.
$\Rightarrow S(x-p)\overset{\hat{e}}{=}m-1$
\item $m-1\equiv 1$ $[3]$, alors il existe un entier $n$ tel que $m-1=3n+1$.%
\newline
\newline
Montrons que $S(x-p-2)\overset{\hat{e}}{=}m-2$, ainsi nous aurons prouv\'{e}
que $S(x-p)\overset{\hat{e}}{=}m-1.$\newline
\newline
On a suppos\'{e} que $x-p\geq 2(m-1)$, donc $x-p-2\geq 2(m-2)$. Comme $%
m-1=3n+1$, alors $m-2=3n$, sachant $x-p-2\geq 2(m-2)$, il est \'{e}vident
que $x-p-2\geq 2\times 3n\Rightarrow x-p-2\geq 6n$, d'apr\`{e}s cette \'{e}%
criture, il est \'{e}vident que $x-p$ puisse s'\'{e}crire comme une somme de
$n$ entiers sup\'{e}rieurs ou \'{e}gaux \`{a} $6$.\newline
\newline
$\Rightarrow x-p-2=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}x_{i}$ avec $\underset{%
1\leq i\leq n}{x_{i}\geq 6}$. D'autre part, il est \'{e}vident que les $x_{i}
$ sont inf\'{e}rieur \`{a} $x$. Or, notre hypoth\`{e}se de r\'{e}currence
est que tout les entiers naturels de 6 \`{a} $x-1$ peuvent s'\'{e}crire
comme une somme de 3 premiers (conjecture de Goldbach), donc les $x_{i}$
peuvent s'\'{e}crire comme une somme de 3 premiers. Or \ $x-p-2=\underset{i=1%
}{\overset{n}{\sum }}x_{i}$, donc $x-p-2$ peut s'\'{e}crire comme une somme
de $3n$ premiers. Comme $m-2=3n$, on peut par cons\'{e}quent affirmer que $%
x-p-2$ peut s'\'{e}crire comme une somme de $m-2$ premiers.
$\Rightarrow S(x-p-2)\overset{\hat{e}}{=}m-2\Rightarrow S(x-p)\overset{%
\hat{e}}{=}m-1$.
\item $m-1\equiv 2$ $[3]$, alors il existe un entier $n$ tel que $m-1=3n+2$.%
\newline
\newline
Montrons que $S(x-p-4)\overset{\hat{e}}{=}m-3$, ainsi nous aurons prouv\'{e}
que $S(x-p)\overset{\hat{e}}{=}m-1.$\newline
\newline
On a suppos\'{e} que $x-p\geq 2(m-1)$, donc $x-p-4\geq 2(m-3)$. Comme $%
m-1=3n+2$, alors $m-3=3n$, sachant $x-p-4\geq 2(m-3)$, il est \'{e}vident
que $x-p-4\geq 2\times 3n\Rightarrow x-p-4\geq 6n$, d'apr\`{e}s cette \'{e}%
criture, il est \'{e}vident que $x-p$ puisse s'\'{e}crire comme une somme de
$n$ entiers sup\'{e}rieurs ou \'{e}gaux \`{a} $6$.\newline
\newline
$\Rightarrow x-p-4=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}x_{i}$ avec $\underset{%
1\leq i\leq n}{x_{i}\geq 6}$. D'autre part, il est \'{e}vident que les $x_{i}
$ sont inf\'{e}rieur \`{a} $x$. Or, notre hypoth\`{e}se de r\'{e}currence
est que tout les entiers naturels de 6 \`{a} $x-1$ peuvent s'\'{e}crire
comme une somme de 3 premiers (conjecture de Goldbach), donc les $x_{i}$
peuvent s'\'{e}crire comme une somme de 3 premiers. Or \ $x-p-4=\underset{i=1%
}{\overset{n}{\sum }}x_{i}$, donc $x-p-4$ peut s'\'{e}crire comme une somme
de $3n$ premiers. Comme $m-3=3n$, on peut par cons\'{e}quent affirmer que $%
x-p-4$ peut s'\'{e}crire comme une somme de $m-3$ premiers.
$\Rightarrow S(x-p-4)\overset{\hat{e}}{=}m-3\Rightarrow S(x-p)\overset{%
\hat{e}}{=}m-1$.
Il faut noter que la condition $m\geq 4$, trouve ici sa justification dans
le fait que nous utilisons l'hypoth\`{e}se selon laquelle la conjecture de
Goldbach est v\'{e}rif\'{e}e jusqu'\`{a} $x-1$. Si on considerait des
valeurs de $m$ inf\'{e}rieur \`{a} $4$, alors $m-1$ serait inf\'{e}rieur
\`{a} $3$ et nous ne pourrions pas, alors, utiliser notre hypoth\`{e}se de r%
\'{e}currence. La conditon $x-p\geq 24$ est imposé par la démonstration.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{proposition}
\begin{proposition}
Soit $x$ de $\mathbb{N-}\left\{ 1\right\} $, $x-4 \geq 18$ et $m$ un \'{e}l\'{e}ment de $%
\mathbb{N}$ sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} $4$, tel que $\left( x,m\right)
\in S$, c'est \`{a} dire $S(x)\overset{\hat{e}}{=}m$, alors $S(x)\overset{%
\hat{e}}{=}m-1$
\begin{proof}
$\ \ \ S(x)\overset{\hat{e}}{=}m$, $m\geq 4$
$\Rightarrow S(x+5)\overset{\hat{e}}{=}m+1$, car $5$ est premier. Comme $%
m+1\geq 4$, nous pouvons \'{e}crire
\ \ \ \ $S(x+5-3)\overset{\hat{e}}{=}m$
$\Rightarrow S(x+2)\overset{\hat{e}}{=}m$, comme $m\geq 4$, nous pouvons
\'{e}crire
\ \ \ \ $S(x)\overset{\hat{e}}{=}m-1$
Ce qu'il fallait d\'{e}montrer.
\end{proof}
\end{proposition}
\begin{proposition}
Tous les entiers naturels sup\'{e}rieurs ou \'{e}gaux \`{a} $6$ peuvent s'%
\'{e}crire comme une somme de $3$ entiers premiers. C'est \`{a} dire quelque
soit $x$ de $\mathbb{N-}\left\{ 1\right\} $ tel que $x\geq 6$, on peut \'{e}%
crire $(x,3)\in S$, c'est \`{a} dire $S(x)\overset{\hat{e}}{=}3$.
\begin{proof}
Ecrivons $x=2k+\varepsilon $\quad avec $\left( \varepsilon =0\text{ si }x%
\text{ est pair, }\varepsilon =1\text{ si }x\text{ est impair}\right) $.
Nous avons montr\'{e} qu'alors $S(x)\overset{\hat{e}}{=}k$.
La conjecture de Goldbach est v\'erifi\'ee jusque $22 (=18+4)$. Aussi, nous nous int\`eressons aux entiers sup\'erieurs \`a $22$.
Si $x > 22$ alors $k\geq 4$, d'apr\`es les propri\'et\'es de $S(x)$, on a :
\\
$S(x)\overset{\hat{e}}{=}k$.
Si $k=4$ alors d'apr\`{e}s la proposition pr\'{e}c\'{e}dente, $S(x)\overset{%
\hat{e}}{=}3$. Si $k>4$, alors la proposition pr\'{e}c\'{e}dente nous
indique que $S(x)\overset{\hat{e}}{=}k-1$.
De m\^{e}me, si $k-1=4$, alors $S(x)\overset{\hat{e}}{=}3$ sinon $S(x)%
\overset{\hat{e}}{=}k-2$.
etc...
En appliquant ainsi cette ''algorithme de descente'', on arrive \`{a}
prouver que $S(x)\overset{\hat{e}}{=}3$.
Ce qu'il fallait d\'{e}montrer.
\end{proof}
\end{proposition}
La conjecture de Goldbach est d\'{e}montr\'{e}e ?...
\end{document}
[TEX]
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\section{Preuve via la r\'{e}currence}
\bigskip
\begin{remark}
La conjecture de Goldbach est v\'{e}rifi\'{e}e jusqu'\`{a} de grandes
valeurs. Supposons qu'elle soit v\'{e}rifi\'{e}e jusqu'au rang $x-1$, c'est
\`{a} dire que tout les entiers naturels compris entre 6 et $x-1$ peuvent s'%
\'{e}crire comme une somme de 3 entiers premiers.\newline
\newline
Montrons alors que la conjecture de Goldbach peut \^{e}tre v\'{e}rifi\'{e}e
alors pour le rang $x$. Pour cela \'{e}tudions les propri\'{e}tes de $S$
\end{remark}
\begin{proposition}
Soit $x$ de $\mathbb{N-}\left\{ 1\right\} $ , et $m$ un \'{e}l\'{e}ment de $%
\mathbb{N}$ sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} $4$, tel que $\left( x,m\right)
\in S$. Soit $p$ un entier naturel premier tel que :
Alors si $x-p\geq 2(m-1)$ et $x-p-4\geq 18$, on peut \'{e}crire que%
\begin{eqnarray*}
\left( x-p,m-1\right) &\in &S \\
\text{c'est-\`{a}-dire } &\text{:}&S\left( x-p\right) \overset{\hat{e}}{=}m-1
\end{eqnarray*}
\begin{proof}
Remarquons avant toute chose que la condition $x-p\geq 2(m-1)$ est
directement li\'{e}e \`{a} la proposition relative \`{a} la valeur minimale
de $x$. En effet pour que $S(x-p)$ aie une chance de pouvoir \^{e}tre \'{e}%
gale \`{a} $m-1$, il faut donc imp\'{e}rativement que $x-p\geq 2(m-1)$.%
\newline
\newline
Montrons maintenant que si $x-p\geq 2(m-1)$, alors $\left( x-p,m-1\right)
\in S$ c'est-\`{a}-dire : $S\left( x-p\right) \overset{\hat{e}}{=}m-1$. Il
nous faut donc montrer que $x-p$ peut s'\'{e}crire comme une somme de $m-1$
entiers premiers. Trois cas sont alors possibles : soit $m-1\equiv 0$ $[3]$,
soit $m-1\equiv 1$ $[3]$, soit $m-1\equiv 2$ $[3]$,$\newline
$\newline
\begin{enumerate}
\item Si $m-1$ $\equiv 0$ $[3]$, alors il existe un entier $n$ tel que $%
m-1=3n$.$\newline
$ On a suppos\'{e} que $x-p\geq 2(m-1)$, sachant $m-1=3n$, il est \'{e}%
vident que $x-p\geq 2\times 3n\Rightarrow x-p\geq 6n$, d'apr\`{e}s cette
\'{e}criture, il est \'{e}vident que $x-p$ puisse s'\'{e}crire comme une
somme de $n$ entiers sup\'{e}rieurs ou \'{e}gaux \`{a} $6$.\newline
\newline
$\Rightarrow x-p=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}x_{i}$ avec $\underset{%
1\leq i\leq n}{x_{i}\geq 6}$. D'autre part, il est \'{e}vident que les $x_{i}
$ sont inf\'{e}rieur \`{a} $x$. Or, notre hypoth\`{e}se de r\'{e}currence
est que tout les entiers naturels de 6 \`{a} $x-1$ peuvent s'\'{e}crire
comme une somme de 3 premiers (conjecture de Goldbach), donc les $x_{i}$
peuvent s'\'{e}crire comme une somme de 3 premiers. Or \ $x-p=\underset{i=1}{%
\overset{n}{\sum }}x_{i}$, donc $x-p$ peut s'\'{e}crire comme une somme de $%
3n$ premiers. Comme $m-1=3n$, on peut par cons\'{e}quent affirmer que $x-p$
peut s'\'{e}crire comme une somme de $m-1$ premiers.
$\Rightarrow S(x-p)\overset{\hat{e}}{=}m-1$
\item $m-1\equiv 1$ $[3]$, alors il existe un entier $n$ tel que $m-1=3n+1$.%
\newline
\newline
Montrons que $S(x-p-2)\overset{\hat{e}}{=}m-2$, ainsi nous aurons prouv\'{e}
que $S(x-p)\overset{\hat{e}}{=}m-1.$\newline
\newline
On a suppos\'{e} que $x-p\geq 2(m-1)$, donc $x-p-2\geq 2(m-2)$. Comme $%
m-1=3n+1$, alors $m-2=3n$, sachant $x-p-2\geq 2(m-2)$, il est \'{e}vident
que $x-p-2\geq 2\times 3n\Rightarrow x-p-2\geq 6n$, d'apr\`{e}s cette \'{e}%
criture, il est \'{e}vident que $x-p$ puisse s'\'{e}crire comme une somme de
$n$ entiers sup\'{e}rieurs ou \'{e}gaux \`{a} $6$.\newline
\newline
$\Rightarrow x-p-2=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}x_{i}$ avec $\underset{%
1\leq i\leq n}{x_{i}\geq 6}$. D'autre part, il est \'{e}vident que les $x_{i}
$ sont inf\'{e}rieur \`{a} $x$. Or, notre hypoth\`{e}se de r\'{e}currence
est que tout les entiers naturels de 6 \`{a} $x-1$ peuvent s'\'{e}crire
comme une somme de 3 premiers (conjecture de Goldbach), donc les $x_{i}$
peuvent s'\'{e}crire comme une somme de 3 premiers. Or \ $x-p-2=\underset{i=1%
}{\overset{n}{\sum }}x_{i}$, donc $x-p-2$ peut s'\'{e}crire comme une somme
de $3n$ premiers. Comme $m-2=3n$, on peut par cons\'{e}quent affirmer que $%
x-p-2$ peut s'\'{e}crire comme une somme de $m-2$ premiers.
$\Rightarrow S(x-p-2)\overset{\hat{e}}{=}m-2\Rightarrow S(x-p)\overset{%
\hat{e}}{=}m-1$.
\item $m-1\equiv 2$ $[3]$, alors il existe un entier $n$ tel que $m-1=3n+2$.%
\newline
\newline
Montrons que $S(x-p-4)\overset{\hat{e}}{=}m-3$, ainsi nous aurons prouv\'{e}
que $S(x-p)\overset{\hat{e}}{=}m-1.$\newline
\newline
On a suppos\'{e} que $x-p\geq 2(m-1)$, donc $x-p-4\geq 2(m-3)$. Comme $%
m-1=3n+2$, alors $m-3=3n$, sachant $x-p-4\geq 2(m-3)$, il est \'{e}vident
que $x-p-4\geq 2\times 3n\Rightarrow x-p-4\geq 6n$, d'apr\`{e}s cette \'{e}%
criture, il est \'{e}vident que $x-p$ puisse s'\'{e}crire comme une somme de
$n$ entiers sup\'{e}rieurs ou \'{e}gaux \`{a} $6$.\newline
\newline
$\Rightarrow x-p-4=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}x_{i}$ avec $\underset{%
1\leq i\leq n}{x_{i}\geq 6}$. D'autre part, il est \'{e}vident que les $x_{i}
$ sont inf\'{e}rieur \`{a} $x$. Or, notre hypoth\`{e}se de r\'{e}currence
est que tout les entiers naturels de 6 \`{a} $x-1$ peuvent s'\'{e}crire
comme une somme de 3 premiers (conjecture de Goldbach), donc les $x_{i}$
peuvent s'\'{e}crire comme une somme de 3 premiers. Or \ $x-p-4=\underset{i=1%
}{\overset{n}{\sum }}x_{i}$, donc $x-p-4$ peut s'\'{e}crire comme une somme
de $3n$ premiers. Comme $m-3=3n$, on peut par cons\'{e}quent affirmer que $%
x-p-4$ peut s'\'{e}crire comme une somme de $m-3$ premiers.
$\Rightarrow S(x-p-4)\overset{\hat{e}}{=}m-3\Rightarrow S(x-p)\overset{%
\hat{e}}{=}m-1$.
Il faut noter que la condition $m\geq 4$, trouve ici sa justification dans
le fait que nous utilisons l'hypoth\`{e}se selon laquelle la conjecture de
Goldbach est v\'{e}rif\'{e}e jusqu'\`{a} $x-1$. Si on considerait des
valeurs de $m$ inf\'{e}rieur \`{a} $4$, alors $m-1$ serait inf\'{e}rieur
\`{a} $3$ et nous ne pourrions pas, alors, utiliser notre hypoth\`{e}se de r%
\'{e}currence. La conditon $x-p\geq 24$ est imposé par la démonstration.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{proposition}
\begin{proposition}
Soit $x$ de $\mathbb{N-}\left\{ 1\right\} $, $x-4 \geq 18$ et $m$ un \'{e}l\'{e}ment de $%
\mathbb{N}$ sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} $4$, tel que $\left( x,m\right)
\in S$, c'est \`{a} dire $S(x)\overset{\hat{e}}{=}m$, alors $S(x)\overset{%
\hat{e}}{=}m-1$
\begin{proof}
$\ \ \ S(x)\overset{\hat{e}}{=}m$, $m\geq 4$
$\Rightarrow S(x+5)\overset{\hat{e}}{=}m+1$, car $5$ est premier. Comme $%
m+1\geq 4$, nous pouvons \'{e}crire
\ \ \ \ $S(x+5-3)\overset{\hat{e}}{=}m$
$\Rightarrow S(x+2)\overset{\hat{e}}{=}m$, comme $m\geq 4$, nous pouvons
\'{e}crire
\ \ \ \ $S(x)\overset{\hat{e}}{=}m-1$
Ce qu'il fallait d\'{e}montrer.
\end{proof}
\end{proposition}
\begin{proposition}
Tous les entiers naturels sup\'{e}rieurs ou \'{e}gaux \`{a} $6$ peuvent s'%
\'{e}crire comme une somme de $3$ entiers premiers. C'est \`{a} dire quelque
soit $x$ de $\mathbb{N-}\left\{ 1\right\} $ tel que $x\geq 6$, on peut \'{e}%
crire $(x,3)\in S$, c'est \`{a} dire $S(x)\overset{\hat{e}}{=}3$.
\begin{proof}
Ecrivons $x=2k+\varepsilon $\quad avec $\left( \varepsilon =0\text{ si }x%
\text{ est pair, }\varepsilon =1\text{ si }x\text{ est impair}\right) $.
Nous avons montr\'{e} qu'alors $S(x)\overset{\hat{e}}{=}k$.
La conjecture de Goldbach est v\'erifi\'ee jusque $22 (=18+4)$. Aussi, nous nous int\`eressons aux entiers sup\'erieurs \`a $22$.
Si $x > 22$ alors $k\geq 4$, d'apr\`es les propri\'et\'es de $S(x)$, on a :
\\
$S(x)\overset{\hat{e}}{=}k$.
Si $k=4$ alors d'apr\`{e}s la proposition pr\'{e}c\'{e}dente, $S(x)\overset{%
\hat{e}}{=}3$. Si $k>4$, alors la proposition pr\'{e}c\'{e}dente nous
indique que $S(x)\overset{\hat{e}}{=}k-1$.
De m\^{e}me, si $k-1=4$, alors $S(x)\overset{\hat{e}}{=}3$ sinon $S(x)%
\overset{\hat{e}}{=}k-2$.
etc...
En appliquant ainsi cette ''algorithme de descente'', on arrive \`{a}
prouver que $S(x)\overset{\hat{e}}{=}3$.
Ce qu'il fallait d\'{e}montrer.
\end{proof}
\end{proposition}
La conjecture de Goldbach est d\'{e}montr\'{e}e ?...
\end{document}
[TEX]
par _-Gaara-_ » 11 Juil 2008, 07:05
Salut et merci lol ^^
ne pourrais-tu pas poster le pdf compilé s'il te plaît ?
ça serait plus lisible
tiens poste ton pdf ici : http://www.scribd.com
et file nous le lien
ne pourrais-tu pas poster le pdf compilé s'il te plaît ?
ça serait plus lisible
tiens poste ton pdf ici : http://www.scribd.com
et file nous le lien
par Dominique Lefebvre » 11 Juil 2008, 07:28
Bonjour,
Ces messages sont illisibles. je ferme la discussion.
Dominique
Ces messages sont illisibles. je ferme la discussion.
Dominique
6 messages
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