Convexité

[MacManus]

Bonsoir à tous

Voila j'ai une petite question sur la convexité d'une fonction. Elle est définie pour tout (x,y,z) dans R par : f(x,y,z) = x²+xy+ay²+z²

A quelle(s) condition(s) sur le réel a f est-elle convexe?


Je sais que dans R² par exemple, f est convexe ssi pour tout (x,y) et tout , .

Et pour ? quelle(s) méthode(s) suivre ? (dérivées partielles....)
On reconnait aussi en f l'expression d'une forme quadratique. Est-il préférable de suivre cette piste ?...

Merci beaucoup pour vos précisions!

[tize]

Bonjour,
je ne l'ai pas fait mais je pense que l'on peut aboutir en suivant cette piste sachant que la définition de la convexité est la même :
pour tout , et ,

[sclormu]

Salut, étant de classe C^2 cette fonction sera convexe si et seulement si sa matrice hessienne est positive. Il te reste donc à calculer la matrice des dérivées secondes, et le signe de ses valeurs propres : trace et déterminant doivent être positifs.

[sclormu]

Oublie l'histoire de trace et det, j'avais pas vu le z. Ceci dit ça s'applique à une sous-matrice. Je trouve

[MacManus]

Salut sclormu et merci !!

Effectivement en écrivant la Hessienne de f et en calculant son déterminant de telle sorte qu'il soit positif ou nul, j'obtiens bien la condition .

[nuage]

Salut,
dans le genre plus simple on peut aussi remarquer que
Et le résultat devient assez facile à démontrer directement à partir de la définition.

[MacManus]

Oui nuage tu as raison j'ai pensé au début réduire en somme de carrées...mais tu utilises quelle définition exactement pour démontrer le résultat...celle avec l'inégalité ? comment faire dans ce cas ?

En gros pour que f soit convexe, elle doit être une forme bilinéaire symétrique définie positive (un produit scalaire), cad à condition que , ce qui se voit très clairement ici ok)