Nilpotence quand tu nous tiens

[Aspx]

Encore moi :hein:

Je sais que je vais passer pour un abruti mais c'est pas grave, je préfère avancer plutôt que de bloquer inutilement.

Soit et deux matrices de taille sur un corps . est nilpotente et A et N commutent.

Montrer que est inversible si et seulement si l'est. Comparer ensuite les polynômes caractéristiques de et .

Pour commencer j'ai pensé à écrire le binôme
[CENTER][/CENTER]
Puis factoriser
[CENTER][/CENTER]
Le problème c'est que rien ne me dit que le dernier déterminant est non nul...
J'ai tenté de passer à l'exp mais c'est à mon goût trop compliqué et surtout ça mène à rien...

Merci de votre aide !

[abcd22]

Bonsoir,
Le plus simple à mon avis, c'est de montrer :
1) A inversible => A + N inversible ;
2) A non inversible => A + N non inversible.
Ce que tu as fait montre le 2).

[leon1789]

et pour faire le 1) de abcd22, développe

[yos]

Il n'y a qu'une implication à prouver puisque A=(A+N) + (-N) avec (A+N) qui commute avec (-N), et -N qui est nilpotente.

[leon1789]

Pour commencer j'ai pensé à écrire le binôme
[CENTER][/CENTER]
Puis factoriser
[CENTER][/CENTER]

pourquoi passer au déterminant ? Factoriser au niveau des matrices est suffisant, non ?

[leon1789]

Il n'y a qu'une implication à prouver puisque A=(A+N) + (-N) avec (A+N) qui commute avec (-N), et -N qui est nilpotente.

exact ! amusant ça :id:

[yos]

Supposons A inversible.
Soit .
AX=-NX
On compose par A de chaque côté : car A et N commutent.
On recommence jusqu'à obtenir dans le second membre, c'est à dire 0 et on conclut.

[leon1789]

Supposons A inversible.
Soit .
AX=-NX
On compose par A de chaque côté : car A et N commutent.
On recommence jusqu'à obtenir dans le second membre, c'est à dire 0 et on conclut.

ok, mais là on démontre surtout la régularité de A+N... Bien sûr, il y a un corps à la base (donc régulier implique inversible), mais c'est bien aussi d'avoir une preuve simple et générale sur un anneau commutatif :

et on conclut que A-N est inversible si A l'est.

[Aspx]

on conclut que A-N est inversible si A l'est.

Merci pour l'idée mais alors pourquoi ne pas faire directement
[CENTER][/CENTER]
puis prendre . On obtient alors inversible si l'est puis et le raisonnement de yos marche !

Merci à vous deux !

Par contre pour la suite (comparer les deux polynômes caractéristiques) je vois pas trop comment partir. Prendre un polynôme quelconque que annule et voir ce qu'il en est quand on l'évalue en ? S'aider de la première question ?

[yos]

Par contre pour la suite (comparer les deux polynômes caractéristiques) je vois pas trop comment partir.

Tu peux remplacer A par A-xId dans la première question : tu as déjà que A et A+N ont les mêmes valeurs propres.

[Aspx]

Tu peux remplacer A par A-xId dans la première question : tu as déjà que A et A+N ont les mêmes valeurs propres.

Décidément les substitutions ça te connait ! :++:
Bon on sait déjà qu'elles ont même valeurs propres. Reste à étudier leur ordre de multiplicité dans le polynôme caractéristique. Il reste aussi des irréductibles dans peut être aussi si je ne me trompe pas ?

[fenecman]

Bonjour,
Pour la première question il me semble qu'on peut utiliser que si A et N commutent alors elles ont une base de vecteurs propres communes, et dans cette base det(A+N)=det(A), d'où la conclusion.

[leon1789]

Bonjour,
Pour la première question il me semble qu'on peut utiliser que si A et N commutent alors elles ont une base de vecteurs propres communes, et dans cette base det(A+N)=det(A), d'où la conclusion.

:doh: :triste: un endomorphisme nilpotent se diagonalise pas, à moins qu'il soit nul...

[ThSQ]

Et rien ne dit que A l'est ...

Aspx tu peux aussi regarder les vecteurs propres d'une puissance ad-hoc de A+N

[fenecman]

:doh: :triste: un endomorphisme nilpotent se diagonalise pas, à moins qu'il soit nul...

Oups désolé c'est pas ce que je voulais dire :briques:
Je voulais dire elle sont simultanément trigonalisable. Et on sait que les valeurs propres d'un endomorphisme nilpotent sont toutes nulles.
C'est bon la? non?

[leon1789]

Comme disait ThSQ, encore faut-il que A soit trigonalisable... (N l'est sur K, ok) Il va falloir considérer un corps de décomposition du polynôme caractéristique de A sur le corps K...
(heureusement que tu ne travailles pas sur un anneau :happy2: )

[fenecman]

Comme disait ThSQ, encore faut-il que A soit trigonalisable... (N l'est sur K, ok) Il va falloir considérer un corps de décomposition du polynôme caractéristique de A sur le corps K...
(heureusement que tu ne travailles pas sur un anneau :happy2: )

Pour moi, (enfin a mon niveau) K = R ou C , donc A est trigonalisable sur C .Mais je suis daccord que cette méthode est moins générale, mais dans ce cas là ça se fait en deux phrases. Enfin si on demande pas de demontrer que deux endomorphisme qui commutent sur un corps algébriquement clos sont simultanément trigonalisables. Dans ce cas là c'est plus long :we:

[leon1789]

Pour moi, (enfin a mon niveau) K = R ou C , donc A est trigonalisable sur C .Mais je suis daccord que cette méthode est moins générale, mais dans ce cas là ça se fait en deux phrases. Enfin si on demande pas de demontrer que deux endomorphisme qui commutent sur un corps algébriquement clos sont simultanément trigonalisables. Dans ce cas là c'est plus long :we:

oui, comme tu dis, en deux phrases ... qui résument deux petits chapitres :we:

[yos]

A+N=AB avec et est nilpotente donc semblable à une triangulaire stricte donc B semblable à une triangulaire avec des 1 dans la diagonale, donc det(A+N)=det(A).
Et pour en rajouter dans la substitution, ceci reste vrai avec A-xId à la place de A (sauf éventuellement pour un nombre fini de x). Donc les polynômes caractéristiques coïncident.

[Aspx]

:++: rien à redire !