Tangente à une courbe

[totolivier]

bonjour

je me demandais si l'existence d'une tangente à une courbe continue (au moins par morceaux) est équivalente à dire que la courbe admet une dérivé (dérivée partielle par rapport à x,y et z par exemple). En prenant comme définition que la tangente à une courbe en un point Mo est la droite qui passe par Mo de coefficient directeur m où m est la limite des coefficients directeurs des droites (MoM) quand M tend vers Mo, avec M parcourant la courbe.

(on considere qu'on a réussi à paramétrer la courbe d'une facon ou d'une autre)

[emdro]

Bonjour,

il y a un petit souci lorsque la tangente est "verticale". Tu sais que dans ce cas, elle n'admet pas de coefficient directeur. La fonction n'est donc pas dérivable. Et pourtant sa courbe admet une tangente.

C'est le cas de la racine carrée en 0.

[totolivier]

bjr

oui c'est exact :(. Dans ce cas, si on peut peut etre définir la tangente en Mo comme la droite passant par Mo dirigé par le vecteur unitaire MMo-> divisé par ||MMo->||

[emdro]

Plutôt dirigée par la limite du vecteur MoM/||MoM|| lorsque M tend vers Mo sur la courbe.

[totolivier]

oui, par la limite.

et dans ce cas, si on a une paramétrisation de la courbe, a t on la courbe dérivable? :)

[emdro]

C'est quoi, une courbe dérivable? La dérivabilité s'adresse à une fonction.

[totolivier]

hum, comme ce n'est pas tres clair dans ma tete, c'est assez mal formulé :)

bon, on reprend:

imaginons une courbe paramétrée. Si d(OM(t)->)/dt n'admet pas de limite, a t on quand meme une tangente?

(l'idée que, c'est que si OM(t) admet une développement limité, on peut montrer que la tangente est dirigé par le premier coefficient non nul de (t-to)^p (son développement limité) de OM(t), et je voulais savoir ce qui se passe si OM n'admet pas de développement limité cad pas dérivable)

[emdro]

Si ta fonction n'est pas dérivable (tout en restant continue), il y a à mon avis deux cas:
* imagine que simplement une coordonnée soit non dérivable. Par exemple: x(t)=t et y(t)=|t|. On se retrouve avec la courbe de la fonction valeur absolue. Et en 0, on n'a pas de tangente.
* Maintenant, il se peut que plusieurs non dérivabilités se compensent. Par exemple, x(t)=|t| et y(t)=|t|. Cela donne une demi-doite d'origine 0.
Lorsque t=0, ton point fait précisément demi-tour en O. Mais que dirais-tu de la tangente à la courbe?

[totolivier]

j'ai oublié de préciser demi tangente et non tangente (avec les histoires de rebroussement d'ordre 1 ou 2)

[emdro]

A mon avis, on peut tout imaginer lorsque la fonction n'est pas dérivable.
On va faire cela :id: : cite moi un cas de figure qu'on ne puisse pas (selon toi) obtenir avec une fonction non dérivable.

[totolivier]

euh je sais pas trop...

[emdro]

Bah voilà! :++: