Intégrale impropre - besoin d'aide pour ma rédaction

[julian]

Salut à tous,
Je vous pose ici une petite intégrale qui me pose problème:


Le but de l'exercice est de montrer que cette écriture est cohérente (que l'intégrale existe quoi :id: ).
J'ai déjà plus ou moins la réponse, mais j'aurai besoin d'une réponse claire et détaillée autant que possible car j'ai tendance à m'embrouiller rapidement sur ce genre d'intégrales.

Note: on considèrera comme acquis le fait que est semi-convergente.

Merci à tous ceux qui répondront :++: :we:

[Aspx]

Comme est pseudo intégrable on sait déjà que est -intégrable. Il ne reste plus qu'à trouver un équivalent -intégrable de en l'infini. Ceci, grâce au théorème de transmission du caractère intégrable par l'équivalence donnera l'existence de l'intégrale.

[julian]

Merci Aspx :we:
Juste une petite précision: pour toi "a-intégrable" signifie qu'il n'y a pas de problème en a? (en gros que est convergente, avec b dans ? ) (question un peu rhétorique)

Donc en gros il me suffit de trouver un équivalent en de pour terminer l'exo?

[Aspx]

Merci Aspx :we:
Juste une petite précision: pour toi "a-intégrable" signifie qu'il n'y a pas de problème en a? (en gros que est convergente, avec b dans ? ) (question un peu rhétorique)

-intégrable signifie intégrable au point de singularité.

[mathelot]

Ceci, grâce au théorème de transmission du caractère intégrable par l'équivalence donnera l'existence de l'intégrale.

C'est doublement faux. L'intégrale est seulement semi-convergente,
l'intégrande (la fonction à intégrer) n'est pas considérée comme intégrable, c'est-à-dire dans .

De plus , la méthode des équivalents est réservée aux intégrandes positives.

Il y a une recette qu'il faut connaitre, l'intégration par parties améliore
la convergence des intégrales impropres.


en x=0, il n'y a aucun problème, l'intégrande admet un prolongement par continuité en t=0. Tout se passe comme si l'on intégrait une fonction continue.



On remarque que lorsque on intégre sin(t) par parties, on choisit LA
primitive 1-cos(t) de manière à obtenir un prolongement par continuité en x=0.

Ensuite, on intégre sur selon la variable d'intégration et on recommencer l'étude. Il faut de nouveau intégrer
par partie pour obtenir du .

[mathelot]

zut, il est tard et j'ai envie d'aller :dodo:

Ce que j'ai écrit ne marche pas bien car il y a un terme en qui n'est pas intégrable.

Il faut scinder l'intégrale
en deux dès le début de l'exo


et ne pas choisir la même primitive sur chaque intervalle :hum:
mais ça on le sait pas en commençant :zen:

[mathelot]

re,

finalement, je trouve l'exo (niveau bac+1 ?) hyper intéressant à rédiger.
voili,voilou:


est une intégrale semi convergente.

en t=0, l'intégrande admet un prolongement par continuité. Tout se passe
comme si localement, on intégrait une fonction continue. non problemo.

la fonction f:

est donc bien définie sur , continue et



On étudie maintenant l'intégrale

le but du jeu étant de montrer que c'est une intégrale semi-convergente,
en fait similaire à l'intégrande, qui est elle-même le reste d'une
intégrale semi-convergente :zen:

L'idée, c'est de formuler f, en primitivant par parties, mais pas avec la même
primitive :zen: sur l'intervalle et sur l'intervalle


pour

comme primitive de , on choisit


d'où



f admet un prolongement par continuité en x=0, elle est bornée sur l'intervalle compact [0;1] et donc intégrable sur [0,1].



comme primitive de , on choisit






encore une intégration par partie. On est en train de faire une sorte de DL
de f(x):




Quand on intègre f sur , le 1er terme donne une intégrale semi-convergente,le deuxième terme et troisième terme donnent chacun une intégrale absolument convergente.

conclusion: ce genre de démo est intéressante car elle permet d'inverser
des opérateurs que l'on pourrait qualifier de "semi-convergents"

[julian]

Et bien merci mathelot, c'est le genre de réponse que j'attendais ^^.
(pour info c'est un petit exo de colle niveau maths spé..à faire en 10 min).

C'est pas bête du tout de scinder l'intégrale en 2 morceaux dès le début, notre prof nous a donné une solution directement sur , donc du coup la convergence due au caractère bornée sur le compact (vraiment très utile :zen: ) n'a pas été utilisé.
(j'ai juste encore un peu de mal à voir (automatiquement) que f est bien bornée sur [0,1] :marteau: )

En tout cas je vois mieux comme aborder ce type d'intégrales, donc merci bien !

Et merci à Aspx pour y avoir réfléchi aussi :++:

Bye!

[Aspx]

C'est doublement faux. L'intégrale est seulement semi-convergente,
l'intégrande (la fonction à intégrer) n'est pas considérée comme intégrable, c'est-à-dire dans .

De plus , la méthode des équivalents est réservée aux intégrandes positives.

Je n'avais pas précisé référence positive mais c'était sous-entendu excuse moi. Par contre pour mon erreur sur la transmission je suis d'accord, c'est toujours mieux de se tromper avant... avant quoi. :briques:

[mathelot]

(j'ai juste encore un peu de mal à voir (automatiquement) que f est bien bornée sur [0,1]

est une fonction décroissante.

Quand x décroit, s(x) augmente (croit) et reste majorée, l'intégrande étant continue en t=0+.

[julian]

Je passe juste pour te remercier mathelot, j'en ai fini avec cet exo maintenant grâce à toi :++:

Amicalement.