Théorème des résidus

[Babe]

Bonjour,

je sèche pour cette question d'un exercice

Montrer que

merci d'avance

[mathelot]

bonsoir,
j'ai fait cet exo cette année mais je ne m'en rappelle plus bien.

Il suffit effectivement d'appliquer le théorème des résidus
à un chemin bien choisi pour la fonction méromorphe



Elle a deux pôles en z=i et z=-i.

A t fixé non nul, on choisit le chemin d'intégration selon le signe de t
dans le demi-plan supérieur ou
de manière à considérer des intégrales convergentes.

Le résidu n'est pas calculé au même pole selon le cas t>0 fixé
ou t <0 fixé.

Sinon, je me demande ce que ça donne d'essayer la transformée de Fourier inverse.

[kazeriahm]

oui comme l'a dit mathelot il est beaucoup plus simple de calculer la transformée de fourier de t->e^(-|t|) et d'utiliser la transformée de fourier inverse

[mathelot]

voilà, je plussoie sur ce qu'écrit Kazeriahm:

1) si l'exo est bac+2, on cherche des chemins du plan complexe pour appliquer le théorème des résidus
2) si l'exo est bac+3, une inverse de transformée de fourier et c'est fini,
surtout que les fonctions à transformer sont dans

(pour les résidus, ça n'a pas l'air compliqué, est-ce qu'un demi-arc de cercle
C(O,R), centré en l'origine qui engloberait le pole z=i (t>0 fixé) ou z=-i (t 0
on utilise une inégalité triangulaire




et en polaire , l'intégrale sur le demi cercle
devrait être un

[kazeriahm]

pour les résidus ca se fait de manière bourrine en intégrant sur le demi cercle centré en 0 et de diamètre l'intervalle réel [-R,R], le demi cercle étant supérieure si t>0 et sur le demi cercle inférieure si t<0