Série et fractions rationelles

par **fenecman** » 16 Juin 2008, 18:50

Bonsoir,
Voici l'exercice proposé :
Soit P et Q deux polynômes n'ayant aucun entier naturel comme racine.étudier la nature de la série

.
J'ai tout d'abors montré que pour que la série ne diverge pas grossièrement il fallait que P et Q aient le meme degré et le même coéfficient dominant.
Ensuite j'ai voulu montrer que si les racines de P n'étaient pas celles de Q alors la série diverge.
Mais pour cela j'ai utiliser le résultats :

( en prenant les suite dans R+* )
Mais je m'intérogeait sur la validité de ce résultat...
Merci de votre aide

par **kazeriahm** » 16 Juin 2008, 19:38

Salut,

le fait qu'ils aient les mêmes racines ne fait que réduire le problème, tu vas te retrouver avec du P'(n)/Q'(n) avec P' et Q' de même degré et de même coefficient dominant

par **fenecman** » 16 Juin 2008, 21:19

Mais si ils ont les mêmes racines et le même coefficient dominant alors P(n)/Q(n) = 1 .
Je comprends pas très bien ce ke tu veu dire ...

par **yos** » 16 Juin 2008, 21:46

Ecris

et donne un équivalent du logarithme.

par **fenecman** » 17 Juin 2008, 08:51

D'accord donc en prenant le module et en passant aux logarithmes, j'obtient que si le coefficient de X^(k-1) est le même dans les deux polynomes alors U_n est équivalente à 1/n^2 d'où convergente.?
Mais si les coefficients de X^(k-1) ne sont pas les mêmes?

par **yos** » 17 Juin 2008, 17:01

Il faut évacuer le module en disant que P(n)/Q(n) garde un signe constant pour n>N.
Si les coefs de X^{k-1} de P et Q coïncident, c'est plutôt du O(1/n^2) (ça peut être a/n^2 ou a/n^3 ...).
Dans l'autre cas c'est équivalent à du a/n.

par **fenecman** » 17 Juin 2008, 18:56

yos a écrit:Il faut évacuer le module en disant que P(n)/Q(n) garde un signe constant pour n>N.

Salut,
Je comprends pas comment tu peux enlever le module si P et Q ont des coefficients complexes?

par **Lierre Aeripz** » 17 Juin 2008, 20:59

fenecman a écrit:

C'est faux !
Exemple :

, mais

par **yos** » 17 Juin 2008, 21:34

fenecman a écrit:Je comprends pas comment tu peux enlever le module si P et Q ont des coefficients complexes?

Je les voyais réels.
En ce cas écrit

où

et fait un dl à l'ordre 2 du log pour contourner la difficulté soulevée par Lierre aerpiz.

par **fenecman** » 18 Juin 2008, 15:49

Salut,
Je suis en train de me perdre dans les modules... :marteau:
Est-ce que ça serait possible de préciser un peu plus ??
merci

par **yos** » 18 Juin 2008, 21:58

Essaie de garder des égalités :

D'autre part

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