Formule de Taylor

[legeniedesalpages]

Bonjour,

On considère une fonction (où est un ouvert de ) qui est de classe .

Soit un point de où est différentiable.

Comment montre-t'on que pour , ?

Merci pour votre aide.

[thomasg]

Bonjour,

il me semble qu'une primitive de la fonction que tu intègres est : f(a+t(x-a))

la réponse est alors immédiate.

[legeniedesalpages]

oui je viens de m'en rendre compte effectivement.

Merci

[legeniedesalpages]

ok donc on a


Chaque est de classe sur (car est )

On a et est .

(avec quand )

ie

et là je ne vois pas pourquoi ?

[Edit]: j'ai rectifié les accolades.

[thomasg]

Il me semble que tu compliques bien trop ton raisonnement, voici une version un peu plus explicite de mon post précédent:

il me semble qu'une primitive de la fonction que tu intègres est :

la fonction g qui à un réel t associe f(a+t(x-a))

en dérivant g par rapport à la variable réelle t on obtient bien

dg=df(a+t(x-a))(x-a) ,

la réponse est alors immédiate.

Tu n'as pas à considérer de dérivées partielles.

Si je raconte n'importe quoi, merci de me le signaler.

[legeniedesalpages]

Il me semble que tu compliques bien trop ton raisonnement, voici une version un peu plus explicite de mon post précédent:

il me semble qu'une primitive de la fonction que tu intègres est :

la fonction g qui à un réel t associe f(a+t(x-a))

en dérivant g par rapport à la variable réelle t on obtient bien

dg=df(a+t(x-a))(x-a) ,

la réponse est alors immédiate.

Tu n'as pas à considérer de dérivées partielles.

Si je raconte n'importe quoi, merci de me le signaler.

non je suis bien d'accord avec toi, et j'avais bien compris ce que tu voulais dire, dans mon précédent post en fait je pose une nouvelle question.

[legeniedesalpages]

En fait je cherche à comprendre le raisonnement de mon prof qu'il fait dans sa démonstration de la formule de Taylor (le même que dans cet article en bas http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Taylor ) pour les fonctions à plusieurs variables réelles, et il me reste ce point à comprendre.

Je pense qu'il faut utiliser le théorème de dérivation sous l'intégrale ou quelque chose comme ça mais je ne vois pas comment. :marteau:

[thomasg]

Peux tu redonner la définition de gi .

Merci.

[legeniedesalpages]

Peux tu redonner la définition de gi .

Merci.

C'est plutôt à moi de te remercier de bien vouloir consacrer du temps à mon problème:

c'est l'application .

[thomasg]

Je ne suis pas d'accord, pour moi gi c'est l'intégrale entre o et 1 par rapport à t de la fonction que tu proposes, l'accolade en dessous de ton intégrale n'est pas assez grande,

moyennant quoi, si ce que je dis est vrai, la suite du raisonnement est plus simple.

Il faut justifier le passage de la dérivée sous l'intégrale (il doit y avoir un théorème dans ton cours qui le justifie, si tu ne trouves pas je retournerai ouvrir mes livres), puis le t sort devant par simple application de la dérivation des fonctions composées (attention: on dérive par rapport à x)

[legeniedesalpages]

ah oui tu as raison pour la fonction , je me suis carrément paumé dans cette démo :briques:

je n'ai pas de théorème dans mon cours au sujet de la dérivation sous le signe de l'intégrale, on me l'a donné dans un cours de théorie de la mesure mais l'énoncé me paraît trop général pour l'utilisation que j'en fait d'habitude.

Si tu as des références de bouquins à me donner où je puis trouver ce théorème, je suis preneur.

En tout cas merci pour ton aide.

[thomasg]

Je n'ai pas mes bouquins sous la main car je suis sur mon lieu de travail,

mais voici au moins un lien qui affiche le théorème utilisé:

http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9rivation_sous_int%C3%A9grale

Je chercherai les références bibliographiques ce soir.

[legeniedesalpages]

merci bien, c'est bein le type d'énoncé que je cherche (beaucoup plus léger que le mien ^^ ). Je vais regarder à la BU cet aprem si je le trouve de mon côté.

[thomasg]

Pour avoir le théorème et la démonstration:

"Les maths en tête ANALYSE " de Xavier Gourdon, éditions ellipses, page 158.

Au revoir.