Fonction injective

[aze321]

Bonjour,

Comment prouver qu'une fonction est injective?
Est-ce que f(x,y)=x²+y² (x,y dans N) est injective?
Connaissez-vous des fonctions injectives paramètrées avec n variables entières?

En fait j'ai besoin de définir une fonction qui associe à un ensemble de variable entière x,y,z,... une valeur f(x) unique.

Jp

[Antho07]

f(x,y)=f(y,x) donc.....

[aze321]

Bonjour Antho07,

Pour prouver qu'une fonction f(x,y) n'est pas injectif il suffit de montrer que f(x,y)=f(y,x) avec x != y .

Mais
Pour prouver qu'une fonction f(x,y) est injective il faut alors énoncer tous les cas possibles pour montrer que aucun d'eux ne vérifie f(x,y)=f(y,x) avec x != y .

Jp

[regis183]

ba tu peux prendre f(x0,...,xn)= x0+x1 sqr(2)+x2 sqr(3)+...xn sqr(an)
où les (ai)n sont les n premiers nombres premiers.

[regis183]

Bonjour Antho07,


Mais
Pour prouver qu'une fonction f(x,y) est injective il faut alors énoncer tous les cas possibles pour montrer que aucun d'eux ne vérifie f(x,y)=f(y,x) avec x != y .

Jp

Ce n'est pas suffisant, il faut que f(x,y)=!f(a,b) pour tous x,y,a,b

[aze321]

merci pour ton aide regis183

ba tu peux prendre f(x0,...,xn)= x0+x1 sqr(2)+x2 sqr(3)+...xn sqr(an)
où les (ai)n sont les n premiers nombres premiers.

deux questions encore:
1) comment démontrer dans ce cas là que f(x0,...xn) est injectif?
2) comment définir une fonction d(f(x0,...xn),f(x0,...xn)) qui permettrait de mesurer la distance sur les xi ? par exemple:
f(1,2)=1+2*sqr(2)=3.82
f(2,5)=2+5*sqr(2)=9.07
et j'aimerai une avoir une fonction d(3.82,9.07)=|1-2|+|2-5|=4

[celine0611]

merci pour ton aide regis183



deux questions encore:
1) comment démontrer dans ce cas là que f(x0,...xn) est injectif?
2) comment définir une fonction d(f(x0,...xn),f(x0,...xn)) qui permettrait de mesurer la distance sur les xi ? par exemple:
f(1,2)=1+2*sqr(2)=3.82
f(2,5)=2+5*sqr(2)=9.07
et j'aimerai une avoir une fonction d(3.82,9.07)=|1-2|+|2-5|=4

Bonsoir,
Tu peux également aller sur le site http://www.bestofmaths.net, tu trouveras tout sur les fonctions...
Bon courage.

[aze321]

Bonsoir,

Merci pour la pub Céline mais ce n'est pas gratuit!

Jp

[regis183]

deux questions encore:
1) comment démontrer dans ce cas là que f(x0,...xn) est injectif?
2) comment définir une fonction d(f(x0,...xn),f(x0,...xn)) qui permettrait de mesurer la distance sur les xi ? par exemple:
f(1,2)=1+2*sqr(2)=3.82
f(2,5)=2+5*sqr(2)=9.07
et j'aimerai une avoir une fonction d(3.82,9.07)=|1-2|+|2-5|=4

1) Je suppose qu'il faut montrer que (sqr(an)) forme une famille libre
2) La fonction n'est ni continue, ni monotone. Donc définir une distance a peu d'intérêt je pense. Mais bon c'est facile:

Tout élément image x peut s'écrire sous la forme x0+x1 sqr(2)+x2 sqr(3)+...xn sqr(an)
Tout élément image y peut s'écrire sous la forme y0+y1 sqr(2)+y2 sqr(3)+...yn sqr(an)

d(x,y)=|x0-y0|+...+|xn-yn|

edit: au fait on est pas du tout au niveau lycée là, et ce depuis le début :doh:

[aze321]

Merci Régis mais comment faire à partir de la valeur d'une image x pour retrouver sa "décomposition" sous la forme x0+x1 sqr(2)+x2 sqr(3)+...xn sqr(an) ? c'est une équation à plusieurs inconnus x=x0+x1 sqr(2)+x2 sqr(3)+...xn sqr(an)?

PS: j'ai posté cette question sur le forum "lycée" pour espérer comprendre la réponse :) ce qui fonctionne plutôt bien jusqu'ici grâce à des gens comme toi qui explique les chose simplement!

[regis183]

ba a mon avis, dans la pratique il doit être difficile d'avoir x sous une autre forme. Enfin si c'est le cas, il faut alors décomposer x dans la base des sqr(an). Dans un espace vectoriel, qui dit projection dans une base, dit produit scalaire (à déterminer), et après c'est facile. Sauf que là on est pas dans un espace vectoriel.... Conclusion: je ne sais pas, en même temps peut être que mon exemple n'est pas le plus simple, faudrait demander à des membres réels ou complexes :stupid_in

[aze321]

pour mon application x peut très bien être un vecteur à une dimension avec n composantes, alors dans ce cas comment ferait tu pour je le rappelle déterminer une fonction injective (pas forcément bijective) c'est à dire qui associe à chaque vecteur x une image f(x) unique ?

[regis183]

pour mon application x peut très bien être un vecteur à une dimension avec n composantes

Moi pas comprendre...une dimension???

alors dans ce cas comment ferait tu pour je le rappelle déterminer une fonction injective (pas forcément bijective) c'est à dire qui associe à chaque vecteur x une image f(x) unique ?

Tu ne précise pas les ensembles de départs et d'arrivée, alors ca depend...
Mon exemple c'est pour N^n -> R, après si tu veux de R^n -> R je crois pas que ca soit possible, et de N^n->N c'est possible.

[aze321]

Moi pas comprendre...une dimension???

moi adorer parler comme ça
http://fr.wikipedia.org/wiki/Composantes_d'un_vecteur

Tu ne précise pas les ensembles de départs et d'arrivée, alors ca depend...
Mon exemple c'est pour N^n -> R, après si tu veux de R^n -> R je crois pas que ca soit possible, et de N^n->N c'est possible.

je pense que tu as raison!