F²=-Id

[zobobo]

Bonjour

Soit E un R-ev de dimension n. f un endo de E tel que f²=-Id.
Je dois mq l'existence d'une base de E ds laquelle la matrice de f est diagonale par blocs, tous les blocs étant égaux à la matrice d'ordre 2 suivante:
(0 -1)
(1 0)
J'ai pensé à prendre un vecteur e1 non nul, e2=f(e1), mais après... ??

Merci

[ThSQ]

Quelques indices :

Déjà la dimension de l'espace est paire = 2n (prendre le déterminant).
Dans C les vp sont i et -i de multiplicités n.
Tu C-diagonalises
Tu regardes comment construire une matrice (réelle) comme tu veux avec ça



Bon, tu peux aussi raisonner par récurrence en partant de (e, f(e)) comme ton idée initiale.

[zobobo]

i et -i sont racines du polynome annulateur donc incluses dans le spectre. Comment sait-on que le spectre contient ses valeurs ?

[Antho07]

i et -i sont racines du polynome annulateur donc incluses dans le spectre. Comment sait-on que le spectre contient ses valeurs ?

On se place dans les complexes
Soit une valeur propre de ta matrice.

Soit X un vecteur propre associée (non nul)


mais f²=-Id

donc


donc

or X est non nul.
Donc



d'ou

[yos]

J'ai pensé à prendre un vecteur e1 non nul, e2=f(e1), mais après... ??

, , etc. Pas de récurrence à expliciter. Liberté à établir.

[ThSQ]

etc. Pas de récurrence .

Derrière un "etc" il y a souvent un récurrence ...

[yos]

Derrière un "etc" il y a souvent un récurrence ...

j'ai dit "pas besoin de l'expliciter". Mais ce n'est que mon point de vue. Il y a des profs qui hurlent en entendant "récurrence triviale" mais ça m'étonnerait qu'ils explicitent .

[zobobo]

, , etc. Pas de récurrence à expliciter. Liberté à établir.

Cmt sait-on que n'est pas ds vect(e1,e2,e3) ?

[yos]

Ben, faut l'écrire : entraîne en composant par f, puis on élimine :
qui est impossible.
Il y a peut-être plus court. (avec c'est pareil).