Isomorphisme

[hicham007]

bonjour tout le monde

j'ai un gros doute sur probleme, en gros j'ai l'impression d'avoir compris mais je trouve que c'est trop facile si quelqu'un peut m'éclairer ou m'aider a mieux comprendre ça serait extrêmement gentil de sa part. merci d'avance

voila mon probleme:

1) trouver les groupes d'ordre 65 a isomorphisme pres .

2) trouver les groupes d'ordre 75 a isomorphisme pres .

pour la premiere:65 = 5 x 13 donc les groupes d'ordre 65 sont : Z13 x Z5 et Z65

pour la seconde 75 : 5^2 x 3 donc les groupes d'ordre 75 sont : Z75 , Z25 x Z3 , Z5xZ5xZ3, Z5xZ15

moi ca me parait trop facile surtout que ces 2 questions sont issue d'un exam ou bien c'est moi qui n'a rien compris aux isomorphisme

encore une fois merci d'avance

[ThSQ]

Z13 x Z5 et Z65 c'est le même (th. des restes chinois).

Pareil pour Z75 et Z25 x Z3, Z15 et Z3xZ5


Le seul groupe d'ordre 65 est Z65 (Sylow et son orchestre).

Pour 75 les seuls commutatifs sont ceux que tu as donnés. Je sais pas pour les autres.

[hicham007]

donc si je comprend bien

pour l'ordre 65 c'est Z 65

et pour l'ordre 75 c'est Z75 et Z15xZ5

[ThSQ]

et pour l'ordre 75 c'est Z75 et Z15xZ5

Pour les groupes commutatifs oui.

Pour les non commutatifs (s'il existe, j'aurais tendance à dire que oui) forcément que non.

[leon1789]

Des groupes non commutatifs à 75 éléments, il en existe : un produit semidirect par exemple où F25 est le corps à 25 éléments, possédant un élément inversible d'ordre 3 (car 3 divise 24). Cet élément inversible sert à l'action de Z3 sur F25, donnant la loi interne : pour , on pose (a,b)¤(a',b') := (a + x^b'.a', b+b')
Non ?

[ThSQ]

Un peu tard pour regarder un détail mais ça a l'air séduisant, merci.
C'est une façon générale de construire des groupes non commutatifs ad-hoc ?

[leon1789]

Je voulais dire : l'idée de faire un produit semi-direct avec un corps fini ?

Une manière générale de construire des groupes non-commutatif, je ne sais pas... Mais il y a un autre exemple utilisant les corps : un groupe d'ordre q(q-1) avec q est une puissance d'un nombre premier -> que l'on peut voir comme agissant sur .

[ThSQ]

Des groupes non commutatifs à 75 éléments, il en existe : un produit semidirect par exemple où F25 est le corps à 25 éléments, possédant un élément inversible d'ordre 3 (car 3 divise 24). Cet élément inversible sert à l'action de Z3 sur F25, donnant la loi interne : pour , on pose (a,b)¤(a',b') := (a + x^b'.a', b+b')
Non ?

Ca marche ! I'm grâve epated !

[ThSQ]

Pour les amateurs de groupes non-commutatifs, un exo sur-lequel je suis tombé
:

Tout groupe d'ordre p² est commutatif (connu). Le cas est plus riche :

Montrer que pour tout p premier il existe un groupe d'ordre non commutatif

[hicham007]

merci pour vos reponses je suis un peu plus eclairé maintenant :)

je vais essayer de resoudre ce probleme en esperant si je reussis que je l'aurai apresdemain en exam :)

[leon1789]

Tout groupe d'ordre p² est commutatif (connu). Le cas est plus riche :

c'est en liaison avec p divise ?

[ThSQ]

c'est en liaison avec p divise ?

Je ne sais pas, tu penses à quoi ?

J'ai trouvé un exemple explicite (qui se généraliser aux cas ).


Hint : matrice triangulaire, corps fini .

[leon1789]

Je ne sais pas, tu penses à quoi ?

Posons avec de telle sorte que p divise .
Alors est anneau dont le groupe des inversibles est de cardinal , donc il existe un élément inversible d'ordre p dans .
D'où le groupe de cardinal () obtenu comme produit semi-direct muni de la loi interne
(a,b)¤(a',b') := (a+a'.x^b', b+b').

C'est comme le coup du corps, mais avec un anneau cette fois. :happy2:

[ThSQ]

Intéressant Léon, merci, mais là pour le coup (trouver un groupe d'ordre p^3 non abélien) c'est un peu sur-dimensionné.