Homéomorphisme et homéomorphisme réciproque

[hindwana]

Soit H la partie du plan définie par H={(x,y) app R2 / (x,y) non = (0,0) et xy+x+y=0}

Soit f l'application définie de H vers R\ {-1,0} définie par f(x,y)=y/x

1) Montrer que f est bien définie et prend bien ses valeurs dans R\ {-1,0}

2) Prouver que f est un homéomorphisme et donner l'homéomorphisme réciproque


comment on montre que la fonction est définie ici?
et comment donner l'image réciproque faut il utiliser les variables (u,v) et donner l'application réciproque en fonction de (u,v)?

[Nightmare]

Bonsoir,

pour que f soit définie il faut x que soit non nul non? Donc f est bien définie sur H.

On cherche une application g de R dans R² tel que

Si on prend l'application qui à x associe (x,x²) ça à l'air de bien marcher non?

[hindwana]

j'ai compris pour la 1er question et la définition que tu as donné, mais pas la fonction g que vous avez donné comment verifie t-elle que fog=IdR

dans l'énoncé quand on nous demande de pouver que f prend ses valeurs dans R\{-1,0} ne serait ce pas plutot R\{0}

[Nightmare]

Comment veux-tu que ta fonction prenne la valeur -1 ?

Au passage je t'ai dit une grosse bêtise, on cherche une fonction de R\{-1,0} dans H

[hindwana]

Honnetement je suis largué autant je comprend pourquoi la fonction ne peut pas prendre de valeur en 0 mais en -1 je vois bien pourquoi ensuite j'ai pas compris comment on peut définir une fonction sur un ensemble tel que xy+x+y=0)
ou x²+y²=1......

[Nightmare]

x²+y²=1 c'est l'équation d'un cercle non?
On a bien le droit de créer une application qui ne prend que les points de ce cercle et qui les envoie quelque part non?

Eh bien c'est pareil ici, notre application ne prend que les éléments de H.

Ensuite, pour que notre application prenne la valeur -1, il faudrait que y=-x.

Cependant, (x,y) est dans H, donc xy+x+y=0
Ainsi si y=-x, alors on aurait -x²+x-x=0 ie x=0 ce qui contredit le fait que (x,y) est différent de 0.

:happy3:

[hindwana]

ok j'ai compris! merci beaucoup!

Maintenant pour montrer que l'application est un homéomorphisme il faut montrer que l'application est continue sur H ce qui est le cas, il faudrait montrer que l'application est bijective, pour la fonction réciproque doit on poser

u=x et v=y/x et calculer en fonction de u et v?