Problème géométrie dans l'espace

[pronto]

Bonjour tout le monde, une question me tracasse depuis un moment sur un genre précis d'exercices: quand on nous demande d'établir la représentation paramétrique d'une droite à partir d'un système d'équations de deux plans.

La quasi totalité des fois, on détermine deux des coordonnées y et z par exemple en fonction du troisième (x) et on met x=t pour retrouver la forme commune d'une représentation paramétrique. Mais le problème, c 'est comment savoir quel coordonnée choisir pour la remplacer en t? Est ce qu'on peut choisir n'importe quelle coordonnée pour n'importe quel système de deux équations?

Pour la deuxième question, j'ai établi une petite démo mais qui reste quand meme douteuse: j'ai supposé que l'on met x=t. Cela implique que la droite d'intersection des deux plans passe par un point d'abscisse 0, comme ce point appartient aussi au plan (yOz) donc la droite est soit sécante à yOz soit incluse dedans. Or il existe des droites qui ne respectent aucune de ces deux conditions et comme par définition une droite dans l'espace est l'intersection de deux plans( càd correspond à un système de deux équations de plan) donc voilà on ne peut pas choisir n'importe quelle coordonnée.

Alors, est ce qu'il y a une faille dans mon raisonnement? Quel réponse vous proposez à la première question?

Et merci :we:

[Quidam]

Bonne question !

Petite correction :

La quasi totalité des fois, on détermine une des coordonnées x par exemple en fonction des deux autres et on met x=t pour retrouver la forme commune d'une représentation paramétrique.

Il fallait dire :

La quasi totalité des fois, on détermine DEUX des coordonnées y et z par exemple en fonction de la troisième (x) et on met x=t pour retrouver la forme commune d'une représentation paramétrique.

Soit deux plans d'équation respectives :

ax+by+cz+d=0
ex+fy+gz+h=0

On peut en général prendre n'importe laquelle des trois coordonnées. Si l'on choisit x par exemple comme paramètre, il suffit d'écrire :

by+cz=-(ax+d)
fy+gz=-(ex+h)

Et résoudre ce système en considérant x connu. Si le système a une solution unique, c'est-à-dire si bg-fc n'est pas nul, on obtient alors :
y=... fonction de x
z=... fonction de x

Mais justement, il y a une condition "Si le système a une solution unique". Si au contraire bg-fc=0, alors x ne peut pas être le paramètre car x est constant sur la droite. Tu l'as parfaitement remarqué avec ta deuxième question !

Exemple :

2x+3y-5z+6=0
3x+6y-10z-4=0

Ici, isoler x dans :

3y-5z=-6-2x
6y-10z=4-3x

Fait apparaître un système qui a soit aucune solution, soit une infinité de solutions.

Dans ce cas, il faut prendre une autre variable comme paramètre. Ici, on pourra prendre y, par exemple :

2x-5z=-3y-6
3x-10z=4-6y

Ceci mènera aux équations paramétriques :

x=-16
z=(3y-26)/5

Et l'on comprend pourquoi on ne pouvait pas choisir x comme paramètre parce que x est constant (comme tu l'as remarqué, cela veut dire que x n'est jamais nul sur cette droite : elle est parallèle à yOz !).

Et finalement, des équations paramétriques de la droite pourraient être :

x=-16
y=t
z=(3t-26)/5

[pronto]

J'ai réparé l'erreur,merci bcp pour ton explication Quidam :we:

Donc il faut catégoriquement faire le calcul pour savoir quelle coordonnée choisir? N'y a-t-il pas d'autre méthode plus astucieuse?

[Quidam]

J'ai réparé l'erreur,merci bcp pour ton explication Quidam :we:

Donc il faut catégoriquement faire le calcul pour savoir quelle coordonnée choisir? N'y a-t-il pas d'autre méthode plus astucieuse?

Je ne vois rien de PLUS simple. Il y a autre chose aussi, mais pas plus simple ! Connais-tu le produit vectoriel ?

[Ruch]

Non, on est en terminale :we:

Merci pour l'aide.

[_-Gaara-_]

Non, on est en terminale :we:

Merci pour l'aide.

On voit le produit vectoriel en Terminale :++:

[Ruch]

Non non, on le voit pas :doh:

A part si tu es dans un lycée qui possède une classe étoilée, (T*) ?

[pronto]

Oui je confirme, c est hors programme le produit vectoriel en Terminale. On s'est limité au produit scalaire.