Matrices

[Anonyme]

Bonjour tout le monde !
Cela fait un petit moment que je n'avais pas eu besoin d'aide, voici mon nouveau problème :

Soient, K un corps distincts et posons :

M=

Nous voulons montrer que :



Nous raisonnons par récurrence :
a)Vérifier le cas n=2
b)
i)Démontrer le résultat quand a_{n}=0 (se rammener avec des opérations sur les lignes et les colonnes au calcul d'un determinant de Vandermonde.)
ii)En déduire qu'il est vrai qu'en général si pour un on a a_{i}=0.
On suppose à partir de maintenant que les sont non nuls et distincts deux à deux et que le résultat est vrai pour

Soit M(X) la matrice obtenue en remplaçant par X dans M.

c)Montrer que det(M(X)) est un polynôme en X de degré exactement n et determiner son coefficient dominant.

d)Trouver n-1 racines évidentes de P.

e)Soit de degré n. On note le coefficient dominant de R. Supposons qu'on connaisse n-1 racines distinctes non nulles de R.

i)Montrer qu'on a où

ii)Déterminer en fonction de R(0) et ensuite la formule de R en fonction de , R(0) et les

f)Conclure (en remarquant que P(0) a été calculé au point b))


Voila... C'est un peu long, mais je galère sur tout l'éxercice...
Merci d'avance si vous pouvez m'aider !

[thomasg]

Bonjour,

voici une modeste contribution (mais qui est proportionnelle à mes capacités et mon temps libre)

En effet, voici la réponse à l'épineuse question a).

Le déterminant de la matrice est égal à (désolé je sais pas mettre les indices)
(1+a1)(1+a2²)-(1+a1²)(1+a2)
en développant on obtient
(a1-a2)+(a2²-a1²)+a1a2²-a1²a2
ce qui donne en factorisant par (a2-a1)
(a2-a1)(-1+a2+a1+a1a2)

D'autre part l'application de la formule proposée donne
[2a1a2-(a1-1)(a2-1)](a2-a1)
ce qui donne en développant le crochet
(a2-a1)(a2+a1-1+a1a2)

L'égalité est donc vérifiée au rang 2.

Si besoin est j'essaierai de poursuivre ce soir.

A bientôt.

[danskala]

salut,

si alors

Pour j allant de 1 à n-1, tu remplaces la colonne Cj par (Cj-Cn). Après cela, le déterminant est inchangé Cela donne



Ensuite tu as, par multilinéarité du déterminant,

Là, on reconnaît un déterminant d'une matrice de Vandermonde (où plutôt sa transposée, mais le déterminant est le même).



Il faut se rappeler que de manière générale,

d'où, en s'occupant du cas j=n "à part", on a





Cela est bien égal à la formule que l'on veut montrer, dans laquelle on a remplacé par 0. (je te laisse vérifier)

@+

[Anonyme]

Oki !
Merci, je vais voir ce que je peux faire avec tout ça !
Je repasserais si je rencontre d'autres problèmes !

Merci encore à thomasg et à danskala qui à meme pris la peine de me l'écrire en LaTex ! :)