Géométrie projective

[Sarah D.]

Pour présenter le décor, lors de notre chapitre sur les "transformations du plan" nous avons étudié celles-ci sous forme matricielle principalement.
La géométrie projective est un point d'extension du chapitre que j'aimerai approfondir pour mon examen, le professeur m'a donc demandé, pour demain, d'essayer de démontrer que l'image d'un point propre est un point impropre.

Dans mes manuels, je n'ai aucune piste et mon cours ne comportent que quelques notions de base sur les points propres et impropres (c'est à dire, point à l'infini). Demandez moi au cas ou si je dois vous ressituer.

Merci pour votre aide !

[nuage]

Salut,
je ne comprend pas bien ton problème.
S'agit t-il de trouver une transformation projective telle que l'image d'un point propre particulier soit un point impropre ?
Que sait tu exactement sur le plan projectif ?

[Sarah D.]

"Démontre qu'un point impropre est l'image d'un point propre", dixit mon professeur :fan:

Alors dans mon cours il y a :

Axiome 1 : deux droites distinctes, dans le plan projectif, ont toujours un et un seul point en commun.
- un point "propre" si les droites sont sécantes.
- un point "impropre" si les droites sont parallèles.

Axiome 2 : deux points distincts ont toujours une et une seule droite.
- Un point propre A + un point propre B => droite habituelle
- Un point A + un point impropre => droite qui passe par le point et est parallèle à la direction donnée
- Un point impropre + un point impropre => droite impropre

Coordonnées homogènes :
- un point propre est représenté par (x, y, 1) ou (kx, ky, k) k différent de 0
- un point impropre est représenté par (a, b, 0) ou (ka, kb, 0) k différent de 0

Je sais aussi que la géométrie projective permet de plonger le plan dans un espace de dimension 3 et qui lui représente toutes les transformations affines grâce aux matrices 3x3.

[nuage]

"Démontre qu'un point impropre est l'image d'un point propre"

En général c'est faux.
En particulier si on considère les transformations affines (qui sont aussi des transformations projectives). Par une transformation affine l'image d'un point propre est toujours un point propre, et de même pour les points impropres.

Ceci étant dit pour visualiser une transformation qui transforme des points propres en points impropres et inversement :
On se place dans avec les axes Ox Oy et Oz.
On considère les plans (P) d'équation z=0 (figures) et (Q) d'équation y=0 (images).
On peut facilement identifier ces 2 plans avec une rotation. (Pour avoir des transformations du plan dans lui-même).
On prend alors un point A extérieur au deux plans (par exemple A(0,1,1)) et, à chaque point M de (P) on associe le point N de (Q) intersection de la droite (affine) (AM) et du plan (Q).
Quand (AM) est parallèle à (Q) N est un point impropre de (Q)
Quand (AN) est parallèle à (P) on M est point impropre de (P)

En espérant avoir été assez clair.

[Sarah D.]

J'ai essayé de tourner l'énoncer sous tous les angles moi aussi je trouve qu'il est un peu saugrenu. Cela dit, merci pour tes réflexions. Je vais comparer cela avec mon cours et essayer de lui montrer déjà ce que je comprend.

Merci encore !


Ps : je te tiendrai au courant s'il me fait part de ses éclairages :id: . Deux cerveaux en valent mieux qu'un.



Bonne soirée.