[1re S] Homothétie

[L-Hamilton]

Bonjour à tous,

Donc voilà, j'ai un petit soucis sur un exercice de maths concernant les homothéties. J'ai réussi à faire quelques questions, sans toutefois être sûr de mes résultats.

Voici donc l'énoncé :

ABCD est un quadrilatère convexe, les diagonales [BD] et [AC] se coupent en O. La parallèle à (BC) menée par A coupe (DB) en E et la parallèle à (AD) menée par B coupe (AC) en F.

1) On note h l'homothétie de centre O, de rapport k1, telle que h1(A) = F
a) Demontrez que h1(D)=B

F est l'image de A par l'jomothétie de centre O et de rapport k1. L'image de D est nécessairement sur un point de (DO). De plus, ce point doit être sur la droite (AB). Ce point là s'appelle B. Donc, h1(D) = B.

b) Déduisez-en que vect OF = k1 x vect OA et vect OB = k1 x vect OD

Etant donné que les points F et B sont les images respectives des points A et D par homothétie de centre O et de rapport k1, et d'après le cours :
vec OF = k1 x vect OA et vect OB = k1 x vect OD.

2)a) On note h2 l'homothétie de centre O, de rapport k2, telle que h2(C) = A
Demontrez que h2(B)=E

L'image de B par l'homothétie de centre O et de rapport k2 est nécessairement un point de la diagonale (BD). De plus, l'image de C est le point de la diagonale (AC). De plus, O est le centre de l'homothétie. Donc on peut en conclure que h2(B) = E.

b) Déduisez-en que vect OE = k2 x vect OB et vect OA = k2 x vect OC

Même chose que le 1)b)

3)a) Des questions précédentes déduisez-en que :
vect OE = k1k2 x vect OD et vect OF = k1k2 x vect OC

vect OE = k2 x vect OB, or vect OB = k1 x vect OD donc :
vect OE = k1k2 x vect OD.
De même, vect OF = k1 x vect OA, or vect OA = k2 x vect OC donc :
vect OF = k1k2 vect OC

b) Démontrez que (DC) et (EF) sont parallèles

Là ça me pose problème : je voudrais bien utiliser le théorème de Thalès, mais ma prof m'a dit que ce n'était pas LA méthode de 1re S pour démontrer le parallélisme des deux droites. Je bute :mur:


Voilà, j'espère que vous pourrez me venir en aide, et me corriger en cas de maladresse dans l'expression :we:

Merci d'avance

[Dr Neurone]

Bonjour L-Hamilton ,

a) Demontrez que h1(D)=A

Réponse : Ce point là s'appelle B. Donc, h1(D) = B

Comprenne qui pourra ... mais la réponse est bien B.La suite est ok.
Pour la dernière question :
OE = k1k2OD et OF = k1k2OC d'après la question précédente.
Fais la différence membre à membre et tu auras la réponse.

[L-Hamilton]

Bonjour Dr Neurone, et merci de m'avoir répondu.

En effet, j'ai fait une erreur de frappe, j'ai corrigé de suite l'énoncé :ptdr:

Par contre, que voulez-vous dire par "faire la différence membre par membre" ? Faut-il décomposer les vecteurs ?

[Dr Neurone]

non ,OF - OE = k1k2(OC - OD)
donc EF = k1k2 DC d'ou la réponse

[L-Hamilton]

Donc, en fin de compte, on justifie le fait qu'elles soient parallèles puisque la droite (DC) est l'image de la droite (EF) par l'homothétie de rapport k1k2 ?

Merci merci :happy2:

[Dr Neurone]

Je dirais plutot que ces vecteurs sont colinéaires donc que EF et DC sont //

[L-Hamilton]

Oui je préfère largement cette justification également.

Juste une dernière question : ma prof étant très à cheval sur la rédaction, il faut obligatoirement faire une phrase pour dire pourquoi on fait tel ou tel calcul.

Est-ce que c'est juste de dire que nous cherchons à démontrer que les vecteurs EF et CD sont colinéaires par le biais de la différence ?

[Dr Neurone]

Il suffit de calculer le vecteur EF pour se justifier , quelque soit le biais .

[L-Hamilton]

OK.

Milles mercis pour l'aide apportée, j'ai pu finir mon exo :we: