Lois de probabilités

[stanb]

Bonsoir!j'ai cet exercice à faire et je ne comprend pas tres bien..merci de votre aide:


Soit I un intervalle inclus dans [0;+infini[. Soit P(I) la proba que le noyau se désintègre à un instant t appartenant à I.

On définit la fonction F sur [0;+inf[ par: F(t)=P([0;t])= "intégrale de 0 à t" de f(x)dx.

1)Montrer que pour ts réels positifs a et b , on a P([a;b])=F(b)-F(a) et P([a;+inf])=1-F(a)

2)a)interpretez la proba conditionnelle P[t;+inf[ ([t;t+s]) et montrez qu'elle est égale à F(s)
Rq:le t;+inf est en indice

b)En déduire que F(t+s)-F(t)=F(s)[1-F(t)]

3) Soit G la fonction définie sur [O;+inf[ par: G(t)=1-F(t)
a) Calculer G(0)
b) Justifier que g est dérivable et determiner sa fonction dérivée.
c)Montrer que G(t+s)=G(t).G(s)
d)En déduire l'existence d'un réel k tq, pour tout t>0, F(t)=1-exp(kt)

4)a) préciser la lim de F en +linfini. Que peut on en déduire sur le signe de k?
b)Montrer que la densité f de la loi de proba P est une fonction définie sur [0;+linfini[ par: f(t)=yexp(-yt) ou y est un réel>O

voila jai juste réussi la question 1.ms le reste gros point dinterrogation...!merci BCP

[_-Gaara-_]

Salut,

pour la 2)a) je ne vois pas comment répondre c'est vraiment mal posé.. au pire tu cites le cours et tu dis que c'est une loi de durée de vie sans vieillissement

b)
P([t;t+s]) = P(t>= 0) * P_(t>=0) (([t;t+s]) ) (comme pour les probas conditionelles) et la réponse tombe toute seule ^^)


3) Soit G la fonction définie sur [O;+inf[ par: G(t)=1-F(t)
a) Calculer G(0) = 1-F(0) = ... et quand tu regardes la tête de F tu dirais que ... =)

b) Justifier que G est dérivable et determiner sa fonction dérivée.
Dérivable en tant que différence de fonctions dérivables sur I, et sa dérivée est 1-F(x) = -f'(x)f(x) Rigueur Rigueur ^^

c)Montrer que G(t+s)=G(t).G(s)
G(t+s)=1-F(t+s) = 1- (F(s)[1-F(t)] + F(t)) = 1- F(s)[1-F(t)] - F(t) = 1- F(s) +F(s)F(t) - F(t) = (1-F(t))*(1-F(s)) = G(s)G(t) =) (équation fonctionnelle de............ l'exponentielle !! =) )

d)En déduire l'existence d'un réel k tq, pour tout t>0, F(t)=1-exp(kt)

ah ça tombe bien ^^ là tu peux répondre avec le cours ;)

Le reste devrait ne pas te poser problème une fois celles là faites =)

[stanb]

merci beaucoup..
je trouve que F(0)=0 cest bien ca..?

[_-Gaara-_]

merci beaucoup..
je trouve que F(0)=0 cest bien ca..?

Oui, car intégrale de 0 à 0 d'un machin fait 0 du coup G(0) = 1

=)