Question sur le premier axiome de Kolmogorov

[seriousme]

Bonjour,

le premier axiome de Kolmogorov stipule qu'une mesure de probabilité doit vérifier :

Mais cet axiome ne peut il pas se déduire des deux autres :

Et par positivité de P :


Où est l'erreur ?

Merci.

[Cyril Mar]

Tout d'abord, dans les axiomes de Kolmogorov, rien, il me semble, à part le premier axiome que vous avez correctement cité, ne dit que P(A) est positif.

[seriousme]

Merci de votre réponse.

En effet la question est mal formulée.
Ce n'est pas l'axiome en entier qui se déduit des autres mais juste l'infériorité par rapport à un.

Donc reformulation :
est-ce que peut se déduire de et des deux autres axiomes ?

Si tel est le cas qu'elle est la raison de cette redondance, même si cela ne s'opose pas à la définition d'une axiomatique ?

Merci.

[Cyril Mar]

Sommes-nous sûrs que ce que vous avez énoncé corresponde exactement à ce que Kolmogorov a formulé ? Il faudrait aller voir son texte pour le savoir. Dans certains ouvrages proposant un exposé de l'axiomatique des probabilités, on prend par exemple pour une propriété ce que vous avez présenté comme étant le premier axiome.

[Cyril Mar]

Je viens de vérifier dans une édition anglaise des Fondements de la Théorie des Probabilités (1933 / 1950 pour la traduction vers l'anglais). Kolmogorov ne précise pas que P(A) est inférieur ou égal à 1. Est écrit (c'est ici le troisième axiome donné) : "To each set A in T [T is a field of sets] is assigned a non-negative real number P(A). This number P(A) is called the probability of the event A."

Quant au fait que P(A) soit supérieur ou égal à 0, il faudrait voir avec les quatre autres axiomes proposés dans l'ouvrage pour se rendre compte que le système n'est pas redondant.

[seriousme]

D'accord, donc ça ne serait pas l'axiomatique de Kolmogorov qui serait en cause mais sa reprise par les différents auteurs.

Très intéressant.

Merci de vos recherches.

[seriousme]

Finalement après consultation de la liste des axiomes dans l'ouvrage original, il apparaît que le quatrième est : et le cinquième pour deux évènements mutuellement exclusifs.

De ces deux là et de la positivité se déduit bien mais cette inégalité n'apparait pas dans l'axiomatique.