Bonjour,
J'ai un petit souci de résolution de limites... pourriez-vous m'aider s'il vous plait ?
lim (xy / x²-y²) en 0 <- j'ai essayé d'utiliser l'inégalité triangulaire, mais je n'arrive nul part
lim (exp(xy)-1 / x) en 0 <- ici, j'ai un problème de forme indéterminée quelque soit la valeur choisie (0/0)
lim (x^3+y^3 / x²+y²) en 0
lim (x²-y² / x²+y²) en 0.
Je sais qu'il faut majorer l'expression pour trouver la limite, mais je n'y arrive pas !
Merci d'avance ! A bientôt.
Fonctions de deux variables
4 messages
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par Sa Majesté » 24 Mai 2008, 19:44
Tu as essayé en passant en coordonnées polaires ?Hipollene a écrit:lim (xy / x²-y²) en 0 <- j'ai essayé d'utiliser l'inégalité triangulaire, mais je n'arrive nul part
par abcd22 » 24 Mai 2008, 20:18
Bonsoir,
Il n'y a pas de limite car si on fait tendre le couple (x, y) vers (0, 0) en étant sur des droites différentes (par exemple x = 0 et y = x/2) on obtient des limites différentes (c'est une technique souvent utilisée pour montrer qu'une fonction de plusieurs variables n'admet pas de limite).
C'est égal à y * (exp(xy) - 1)/(xy) qui devrait te rappeler une forme indéterminée classique...
Ça tend vers 0.
On peut remarquer par exemple que x³ / (x² + y²) <= x et même majoration pour y³ / (x² + y²).
Pas de limite pour la même raison que la première.
Pour « intuiter » les limites pour les fractions polynomiales à plusieurs variables, il suffit de comparer les degrés (des termes dominants si les polynômes ne sont pas homogènes) : pour la 3e limite, degré 3 sur degré 2, comme au voisinage de 0 h³ est négligeable devant h² c'est probable que ça tende vers 0, les 1e et 4e limites c'est du degré 2 sur degré 2 et dans ce cas il est probable que si on fait tendre (x, y) vers 0 suivant une droite y = bx on trouve une limite, mais qu'elle dépende de b, ce qui prouve que la fonction n'a pas de limite en 0.
Hipollene a écrit:lim (xy / x²-y²) en 0 <- j'ai essayé d'utiliser l'inégalité triangulaire, mais je n'arrive nul part
Il n'y a pas de limite car si on fait tendre le couple (x, y) vers (0, 0) en étant sur des droites différentes (par exemple x = 0 et y = x/2) on obtient des limites différentes (c'est une technique souvent utilisée pour montrer qu'une fonction de plusieurs variables n'admet pas de limite).
lim (exp(xy)-1 / x) en 0 <- ici, j'ai un problème de forme indéterminée quelque soit la valeur choisie (0/0)
C'est égal à y * (exp(xy) - 1)/(xy) qui devrait te rappeler une forme indéterminée classique...
lim (x^3+y^3 / x²+y²) en 0
Ça tend vers 0.
On peut remarquer par exemple que x³ / (x² + y²) <= x et même majoration pour y³ / (x² + y²).
lim (x²-y² / x²+y²) en 0.
Pas de limite pour la même raison que la première.
Pour « intuiter » les limites pour les fractions polynomiales à plusieurs variables, il suffit de comparer les degrés (des termes dominants si les polynômes ne sont pas homogènes) : pour la 3e limite, degré 3 sur degré 2, comme au voisinage de 0 h³ est négligeable devant h² c'est probable que ça tende vers 0, les 1e et 4e limites c'est du degré 2 sur degré 2 et dans ce cas il est probable que si on fait tendre (x, y) vers 0 suivant une droite y = bx on trouve une limite, mais qu'elle dépende de b, ce qui prouve que la fonction n'a pas de limite en 0.
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