Limites de sommes

[Master_Of_Puppets]

Bonjour tout le monde! Hello everyone! Guten tag, alle! enfin, etc...

Dans de nombreux domaines, et notamment dans le calcul intégral, on est confronté à des limites de sommes, ce qui n'est pas aisé à calculer. Pour cela, j'ai pris l'initiative d'étudier (par moi-même, comme ça c'est plus amusant! ou presque...) les limites de sommes, ce qui m'a amené à élaborer ce petit théorème (sans vouloir manquer de modestie, bien sûr!):

Soit f une fonction réelle définie sur l'ensemble des entiers naturels.
On définit alors la suite (Sn) (pour n entier naturel) de terme général:
Sn= Somme de k=0 à n de f(k)
Dès lors, les deux assertions suivantes sont équivalentes:
(i) (Sn) converge. (ii) La limite de f en +oo est égale à 0.

Pour démontrer l'implication (i)=>(ii), c'est facile. (C'est d'ailleurs d'après cette démonstration que j'ai élaboré mon humble théorème!) Par contre, pour montrer que (ii)=>(i), c'est beaucoup moins évident! Vous me direz, rien ne m'indique précisement que la réciproque est vraie, mais je ne trouve pas de contre-exemple, et même intitivement, il me semble que ça marche aussi dans ce sens là.
Alors, voilà: si quelqu'un arriverait à trouver un conre-exemple à la réciproque, ce serait très sympa de m'en informer, ce qui m'éviterait de me torturer la tête pour rien davantage! Sinon, à part ça, si quelqu'un aurait une idée pour pouvoir montrer cette fameuse réciproque, ou bien s'il existerait déjà un théorème analogue, qu'il s'exprime! (C'est fait pour ça, un forum!!)

En attente de vos réponses éclairées...

[Nightmare]

Salut :happy3:

Prendre f(n)=1/n

Elle converge bien vers 0 et pourtant diverge vers +oo.

la réciproque n'est donc pas vraie!

[Monsieur23]

Bonjour.

Pour le sens direct, il ne faut pas que la fonction soit continue ?

Genre sinon on prend f(x) = 1/x² pour x entier et f(x) = x pour x non entier.

Auquel cas (Sn) converge, mais la fonction n'a pas de limite en +oo.

Non ? ( Je dis ça comme ça, j'ai pas réfléchi plus de deux minutes et demi )

[Master_Of_Puppets]

Ah, voilà! Et bien, merci, Nightmare, tu as sauvé mes neurones! Tu m'as aidé à échapper de mon CAUCHEMAR! :ptdr:Comme quoi...

[Joker62]

Pour plus de renseignement, lis donc un cours sur les séries tu vas voir c'est beau (l)
Puis ta signature est vraiment beaucoup trop longue
Raccourci là donc pardis !!!

[_-Gaara-_]

Salut :happy3:

Prendre f(n)=1/n

Elle converge bien vers 0 et pourtant diverge vers +oo.

la réciproque n'est donc pas vraie!

Il y a une démo pas mal pour celle là avec les intégrales :lol2:

[lapras]

Oui !

Tu peux aussi montrer que ln(x+1)-ln(x) < 1/x avec le TAF puis sommer. (voir post qui remonte à tres longtemps dans la section lycée)

[Nightmare]

Oui effectivement, la démonstration de la divergence de la série harmonique est jolie, bien que classique (comparaison série-intégrale typique)

[Nightmare]

Un exo peut être un peu plus difficile mais tout aussi classique est de trouver un développement asymptotique de cette série.

[_-Gaara-_]

Un exo peut être un peu plus difficile mais tout aussi classique est de trouver un développement asymptotique de cette série.

Peux tu poster cet exo ? Moi j'essayerais de mettre dès que je peux la démonstration pour la divergence de la série harmonique :++: (pas maintenant je dois réviser la chimie -_-'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''')


PS : lapras :++: :lol2:

[Nightmare]

Gaara > Bah le voila l'exo... Donner un développement asymptotique de la série harmonique (à l'echelle 1/n² par exemple).

Pour la démo de la divergence te fatigue pas elle se trouve partout.

[_-Gaara-_]

Okay :lol2: je retourne alors à ma chimie (de M**** >_<)

[ffpower]

Pour moi la demo la plus simple de la divergence de la serie harmonique c est:

ne tend donc pas vers 0 cqfd

[abcd22]

Bonjour,

[i] Soit f une fonction réelle définie sur l'ensemble des entiers naturels.
On définit alors la suite (Sn) (pour n entier naturel) de terme général:
Sn= Somme de k=0 à n de f(k)
Dès lors, les deux assertions suivantes sont équivalentes:
(i) (Sn) converge. (ii) La limite de f en +oo est égale à 0.

C'est faux comme les autres te l'ont déjà dit, mais si on prend f définie sur tous les réels positifs, qu'on suppose f positive et décroissante et qu'on remplace (ii) par
(ii)' f est intégrable sur [0, +infini[ (tu n'as pas dû voir ça j'imagine, pour une fonction positive c'est pareil que dire que converge quand x tend vers l'infini)
c'est un résultat classique de comparaison entre séries et intégrales, et la démonstration consiste à comprendre à quoi correspondent f(n), , ... sur le graphe de f.

[_-Gaara-_]

Pour moi la demo la plus simple de la divergence de la serie harmonique c est:

ne tend donc pas vers 0 cqfd

CeQueFeuDeu mdr xDDDDDDDDd

[lapras]

Quelqun peut il me dire vers quoi converge la série des 1/x² ?
Ce qui est sur c'est qu'elle converge etr que sa limite est < 2

[_-Gaara-_]

Salut lapras ^^

c'est pi²/6

[SimonB]

Quelqu'un peut me dire ce que vaut la série des 1/n^3 ?

Après quelques raisonnements j'arrive à montrer que c'est irrationnel mais je n'arrive pas à aller plus loin !!!

[Nightmare]

Salut SimonB :happy3:



Ca ne s'exprime pas en fonction de pi si mes souvenirs sont bons.

[Nightmare]

Après recherche sur internet, est appelée constante d'Apéry et vaut 1,2020205 blablabla